Поршни и груз

Пусть после того, как на поршень массой \(M_1\) положили груз массой \(m\), этот поршень опустился на расстояние \(\Delta h_1\), а второй поршень поднялся на высоту \(\Delta h_2\) относительно начального положения. При этом перепад уровней жидкости в сосудах будет равен \(\Delta h_1 + \Delta h_2\), а разность давлений, создаваемая этим перепадом уровней, будет компенсироваться добавочным давлением, которое создаёт груз массой \(m\), лежащий на первом поршне. Отсюда получаем уравнение: \(\rho g(\Delta h_1 + \Delta h_2) = mg/S_1\). Здесь \(S_1\) — площадь поршня массой \(M_1\). Далее, так как объём жидкости под поршнями не изменился, то справедливо соотношение: \(S_1\Delta h_1 = S_2\Delta h_2\), где \(S_2\) — площадь поршня массой \(M_2\). Выражая из второго уравнения величину \(\Delta h_1\) и подставляя её в первое уравнение, найдём высоту, на которую поднимется поршень массой \(M_2\): \[\Delta h_2 = \dfrac{m}{\rho(S_1 + S_2)}.\] По условию задачи эта величина равна \(h\).

Пусть теперь груз массой \(m\) положили на поршень массой \(M_2\). Проводя аналогичные рассуждения, можно честно найти высоту \(\Delta h_1'\), на которую при этом поднимется поршень массой \(M_1\). Однако, зная выражение для \(\Delta h_2\), ответ можно просто угадать. Действительно, в рассматриваемой системе всё равно, какой поршень считать «первым», а какой — «вторым». Значит, для того, чтобы получить ответ, можно просто перенумеровать все величины в последней формуле, то есть заменить все индексы «1» на индексы «2», и наоборот. В итоге получим \[\Delta h_1' = \dfrac{m}{\rho(S_2 + S_1)} = \Delta h_2 = h.\] Итак, если положить груз массой \(m\) на поршень массой \(M_2\), то поршень массой \(M_1\) поднимется относительно начального положения на такую же высоту \(h\), на какую поднимался поршень массой \(M_2\), когда груз массой \(m\) клали на поршень массой \(M_1\).