Пешеход между двумя встречными

Обозначим расстояние между велосипедистом и мотоциклистом \(S\), а скорость пешехода \(v\). Дальше задачу можно решать двумя способами — с помощью составления системы уравнений и графически. Рассмотрим оба способа.

1. Составим систему уравнений. Пусть велосипедист, мотоциклист и пешеход встретятся через время \(t\). Предположим, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. До момента встречи мотоциклист проедет путь \(60t\), а велосипедист — путь \(20t\). Так как вначале расстояние между ними было равно \(S\), то получаем уравнение: \[60t + 20t = S.\] Второе уравнение можно получить, рассмотрев встречу пешехода с велосипедистом или с мотоциклистом. В начальный момент времени расстояние между мотоциклистом и пешеходом было равно \(2S/3\), а между велосипедистом и пешеходом \(S/3\). Так как встреча произошла через время \(t\), то справедливы соотношения: \[\dfrac{2S}{3} + vt = 60t,\quad \dfrac{S}{3} - vt = 20t.\] Легко видеть, что полученная система трёх уравнений не позволяет найти время \(t\) и начальное расстояние \(S\). Однако скорость пешехода \(v\) из неё найти можно, причём для нахождения \(v\) достаточно решить только два любых уравнения из числа имеющихся. Это связано с тем, что велосипедист, мотоциклист и пешеход встречаются в одной точке. Выражая из любого уравнения величину \(S\) и подставляя её в два оставшихся уравнения, находим скорость пешехода: \[v = \dfrac{20}{3} \approx 6{,}7\text{ км/ч}.\] Скорость получилась положительной. Это означает, что мы вначале правильно решили, что пешеход идёт по направлению к велосипедисту. Если бы мы ошиблись и предположили, что пешеход идёт в обратную сторону, то два последних уравнения изменились бы, и в результате мы бы получили величину скорости \(v \approx -6{,}7\text{ м/с}\). Знак «минус» показывал бы, что на самом деле пешеход идёт в обратную сторону.

2. Графический способ решения задачи более нагляден. Начертим графики зависимости положения мотоциклиста, велосипедиста и пешехода от времени в одной системе координат (\(X\)–\(t\)) и обозначим их начальные положения буквами \(M\), \(V\) и \(P\) соответственно (см. рисунок). За начало координат выберем положение мотоциклиста, а за момент начала отсчёта времени — начало движения. Так как движение происходит с постоянной скоростью, то графики будут представлять собой прямые линии, пересекающиеся в некоторой точке \(A\) (точка встречи).

Перпендикуляр, опущенный из точки \(A\) на ось \(X\), пересечёт её в точке \(B\) (эта точка соответствует расстоянию от начального положения мотоциклиста до места встречи). Из условия задачи вытекает следующая пропорция: \[\dfrac{MP}{PV} = \dfrac{2}{1}.\] Кроме того, длины отрезков \(MB\) и \(BV\) относятся так же, как скорости мотоциклиста и велосипедиста: \[\dfrac{MB}{BV} = \dfrac{60\text{ км/ч}}{20\text{ км/ч}} = \dfrac{3}{1}.\] Из этих пропорций вытекают следующие соотношения: \[\dfrac{MV}{BV} = \dfrac{MB + BV}{BV} = \dfrac{4}{1},\quad \dfrac{MV}{PV} = \dfrac{MP + PV}{PV} = \dfrac{3}{1}.\] Деля два последних отношения друг на друга, получаем: \[\dfrac{PV}{BV} = \dfrac{4}{3}.\] Наконец, используя последнее выражение, находим: \[\dfrac{PB}{BV} = \dfrac{PV - BV}{BV} = \dfrac{1}{3}.\] Но отношение длин отрезков \(PB\) и \(BV\) равно отношению скоростей пешехода и велосипедиста. Значит, скорость пешехода должна быть равна \(v = \dfrac{20\text{ км/ч}}{3} \approx 6{,}7\text{ км/ч}\). Кроме того, из чертежа видно, что пешеход должен двигаться в сторону велосипедиста.