Кофе с мороженым

Прежде всего, нужно придумать модель, которую можно применить для описания процесса охлаждения кофе при помощи мороженого. Предположим, что мороженое по своим свойствам близко ко льду, то есть имеет примерно одинаковые с ним удельную теплоёмкость и удельную теплоту плавления, и столь же небольшую теплопроводность. Предположим также, что для охлаждения кофе до требуемой температуры в него нужно будет положить мороженое ложечкой несколько раз. Будем считать, что при опускании в мороженое ложечка охлаждается до температуры брикета, а при опускании в кофе — нагревается до температуры напитка. Ввиду малой теплопроводности мороженого от ложечки прогревается только тонкий его слой, и при следующем заборе мороженого из того же места брикета отданная ложечкой теплота будет забрана обратно. В этом случае перенос теплоты ложечкой можно не учитывать. Но возможен и другой способ, когда мороженое берётся каждый раз из нового места брикета, и ложечка отдаёт ему тепло. Теперь можно пытаться решить задачу «в лоб», определяя температуру кофе после каждого следующего забора мороженого из брикета и размешивания кофе. Однако в задаче не спрашивается, сколько ложек мороженого нужно положить в кофе, а требуется лишь оценить необходимую массу мороженого. Поэтому попытаемся сначала решить задачу в первом приближении. Запишем уравнение теплового баланса для системы, состоящей из чашки, ложки, кофе и мороженого. Энергия, выделяющаяся при охлаждении кофе от температуры \(T_1\) до температуры \(T_3\), равна \(m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3)\). Она идёт на нагрев фарфоровой чашки от комнатной температуры \(T_{\text{к}}\) до температуры \(T_3\), на нагрев искомой массы мороженого \(m_2\) от температуры \(T_2\) до температуры \(T_0 = 0\,^\circ\text{C}\), на плавление и дальнейший нагрев этой массы от температуры \(T_0\) до температуры \(T_3\), а также, если забор мороженого осуществляется каждый раз из нового места брикета, — на нагрев серебряной ложки, которая может помещаться в мороженое и в кофе по нескольку раз, нагреваясь на разное количество градусов, поскольку кофе постепенно охлаждается. Чтобы не рассматривать весь процесс детально (ведь мы ищем оценку), предположим, что ложечка погружается в мороженое и в кофе \(n\) раз и каждый раз нагревается на некоторую среднюю разность температур кофе и мороженого \(\Delta T_{\text{ср}}\). Учитывая всё это, получаем уравнение: \[m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3) = m_{\text{ф}}C_{\text{ф}}(T_3 - T_{\text{к}}) + m_2\bigl(C_{\text{л}}(T_0 - T_2) + \lambda + C_{\text{в}}(T_3 - T_0)\bigr) + m_{\text{лож}}C_{\text{с}}n\Delta T_{\text{ср}}.\] Выразим отсюда искомую массу мороженого \(m_2\) и подставим числовые значения известных величин: \[m_2 = \dfrac{m_1C_{\text{в}}(T_1 - T_3) - m_{\text{ф}}C_{\text{ф}}(T_3 - T_{\text{к}}) - m_{\text{лож}}C_{\text{с}}n\Delta T_{\text{ср}}}{C_{\text{л}}(T_0 - T_2) + \lambda + C_{\text{в}}(T_3 - T_0)} = \dfrac{28350 - 2000 - 3{,}45\cdot n\Delta T_{\text{ср}}}{554}\text{ г}.\] Из полученного соотношения видно, что последнее слагаемое числителя, которое описывает вклад в энергообмен серебряной ложки, имеет примерно одинаковый порядок со вторым слагаемым, описывающим нагрев фарфоровой чашки, и что оба они намного меньше первого слагаемого, отвечающего за охлаждение кофе. Действительно, предположим, что мороженое забирают ложечкой только один раз (\(n = 1\)). Среднюю разность температур мороженого и кофе можно считать примерно равной \(\Delta T_{\text{ср}} \approx 80\,^\circ\text{C}\). Тогда последнее слагаемое равно 276 Дж, и для массы мороженого \(m_2\) находим: \[m_2 \approx \dfrac{26350 - 3{,}45\cdot 80\cdot 1}{554}\text{ г} \approx 47\text{ г}.\] Полученный результат означает, что ложечка слабо влияет на процесс охлаждения кофе, так как на её нагревание затрачивается очень небольшое количество тепла. Понятно также, что оценка средней разности температур \(\Delta T_{\text{ср}}\) и числа заборов мороженого \(n\) почти не влияет на ответ. В самом деле, предположим, что мы клали мороженое в кофе в пять приёмов, то есть будем считать, что в ложечку помещается около 10 граммов мороженого. Тогда для массы мороженого \(m_2\) получим \[m_2 \approx \dfrac{26350 - 1380}{554}\text{ г} \approx 45\text{ г},\] то есть новое значение отличается от найденного ранее всего на два грамма (или примерно на 4%). После всего сказанного становится ясно, что при получении оценочного результата вклад ложки можно вообще не рассматривать, то есть можно не включать соответствующее слагаемое в уравнение теплового баланса — ответ от этого практически не изменится.