Лёд в тёплой воде

Не пишите сразу уравнение баланса: неизвестно, весь ли лёд растает. Сравните, сколько тепла может отдать вода, остывая до \(0\,^\circ\text{C}\), с тем, сколько нужно льду, чтобы нагреться до \(0\,^\circ\text{C}\) и чтобы растаять.

\(t=0\,^\circ\text{C}\): лёд растает не весь (расплавится \(\approx 64\) г из \(500\) г), в калориметре вода и лёд при \(0\,^\circ\text{C}\).

Что происходит. Вода теплее нуля и отдаёт тепло, лёд холоднее нуля и берёт тепло. Но у льда есть ещё скачок при плавлении: нагреть лёд до нуля мало, надо потратить теплоту \(\lambda m\) на таяние. Заранее не известно, какой из процессов остановится первым (вода остынет до нуля, лёд нагреется до нуля, лёд растает весь), поэтому сначала сравниваем запасы тепла, а уравнение теплового баланса записываем потом.

Обозначения. \(Q_1\) — тепло, которое отдаст вся вода при остывании от \(15\,^\circ\text{C}\) до \(0\,^\circ\text{C}\); \(Q_2\) — тепло, нужное, чтобы нагреть весь лёд от \(-10\,^\circ\text{C}\) до \(0\,^\circ\text{C}\); \(Q_3\) — тепло, нужное, чтобы расплавить весь лёд при \(0\,^\circ\text{C}\).

1. Что может отдать вода. Количество теплоты при остывании: \(Q_1=c_1m_1t_1=4{,}2\cdot10^3\cdot0{,}5\cdot15=3{,}15\cdot10^4\) Дж.

2. Что нужно льду, чтобы нагреться. Уравнение теплового баланса для нагрева льда: \(Q_2=c_2m_2(0-t_2)=2{,}1\cdot10^3\cdot0{,}5\cdot10=1{,}05\cdot10^4\) Дж. Так как \(Q_1>Q_2\), вода способна довести лёд до \(0\,^\circ\text{C}\), и ещё останется \(Q_1-Q_2=2{,}1\cdot10^4\) Дж.

3. Что нужно льду, чтобы растаять. \(Q_3=\lambda m_2=3{,}3\cdot10^5\cdot0{,}5=1{,}65\cdot10^5\) Дж.

4. Сравнение. Остаток \(2{,}1\cdot10^4\) Дж много меньше \(Q_3=1{,}65\cdot10^5\) Дж, то есть растает лишь малая часть льда. Значит, ни весь лёд не растает, ни вся вода не замёрзнет (чтобы вода замёрзла полностью, она должна отдать \(Q_1+\lambda m_1=1{,}97\cdot10^5\) Дж, а лёд способен принять до плавления только \(Q_2\)). Остаётся состояние, в котором в калориметре сосуществуют вода и лёд, а лёд и вода находятся в тепловом равновесии только при \(0\,^\circ\text{C}\).

5. Сколько льда растает. Закон сохранения энергии (теплообмена с внешней средой нет): остаток тепла \(Q_1-Q_2\) пошёл на плавление массы \(m_\text{пл}\): \[\lambda m_\text{пл}=Q_1-Q_2\ \Rightarrow\ m_\text{пл}=\frac{Q_1-Q_2}{\lambda}=\frac{2{,}1\cdot10^4}{3{,}3\cdot10^5}\ \text{кг}\approx0{,}064\ \text{кг}.\] В калориметре остаётся \(0{,}5+0{,}064\approx0{,}56\) кг воды и \(0{,}5-0{,}064\approx0{,}44\) кг льда.

Обратите внимание: уравнение \(c_1m_1(t_1-t)=c_2m_2(t-t_2)+\lambda m_2\) с неизвестной \(t\) даёт \(t<0\) при подстановке чисел, и по нему можно было бы ответить <<\(-\ldots\,^\circ\text{C}\)>>. Это ошибка: оно предполагает, что весь лёд растаял, а это не так. Пока в воде есть лёд, температура равна \(0\,^\circ\text{C}\).

Ответ. В буквах: \(t=0\,^\circ\text{C}\), при \(c_1m_1t_1-c_2m_2|t_2|<\lambda m_2\) (то есть \(Q_1-Q_2<Q_3\)) и \(c_1m_1t_1>c_2m_2|t_2|\); в числах: \(t=0\,^\circ\text{C}\), расплавилось \(\approx 64\) г льда.

Проверка. Размерность: \(c\,m\,t\) — Дж; \(Q/\lambda\) — кг. Проверка энергии: \(3{,}15\cdot10^4=1{,}05\cdot10^4+3{,}3\cdot10^5\cdot0{,}0636=1{,}05\cdot10^4+2{,}10\cdot10^4\) — сходится. Физический смысл: вода в \(15\,^\circ\text{C}\) всего лишь греет лёд до нуля и чуть подтапливает его.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.