Аэростат с эластичной оболочкой

Подъёмная сила — сила Архимеда за вычетом веса газа внутри. Обе величины пропорциональны плотностям, а плотности газа и воздуха при одинаковых давлении и температуре относятся как молярные массы.

\(F=m_2g\left(\dfrac{M_1}{M_2}-1\right)\), где \(m_2\) — масса газа в аэростате, \(M_1\) и \(M_2\) — молярные массы воздуха и газа: от высоты не зависит.

Что происходит. На аэростат действует сила Архимеда — вес вытесненного воздуха, и вниз — вес газа внутри оболочки. Эластичная оболочка тонкая и мягкая, поэтому давление внутри равно давлению снаружи, и при подъёме аэростат раздувается так, что объём меняется. Покажем, что в выражении для подъёмной силы объём, давление и температура сокращаются.

Обозначения. \(V\) — объём аэростата, \(\rho_1\) — плотность воздуха на данной высоте, \(\rho_2\) — плотность газа внутри, \(M_1\), \(M_2\) — молярные массы воздуха и газа, \(m_2\) — масса газа в оболочке, \(p\) — давление, \(T\) — температура.

1. Подъёмная сила. Сила Архимеда (вес вытесненного воздуха) за вычетом силы тяжести газа в оболочке: \(F=\rho_1gV-\rho_2gV=(\rho_1-\rho_2)gV\). Вес самой оболочки и груза не зависят от высоты и просто вычитаются отдельно.

2. Условия равновесия оболочки с атмосферой. Эластичная оболочка тонкая, избыточным давлением от её натяжения пренебрегаем: давление газа внутри равно давлению воздуха снаружи на этой высоте. Температура газа внутри совпадает с температурой воздуха (аэростат в тепловом равновесии с атмосферой; при изотермической атмосфере эта температура ещё и не зависит от высоты, но это для вывода не нужно).

3. Уравнение состояния для воздуха и для газа. Из уравнения Менделеева — Клапейрона \(pV=\dfrac mM RT\) получаем \(p=\dfrac{\rho}{M}RT\). Для воздуха и для газа при одинаковых \(p\) и \(T\): \[\frac{\rho_1}{M_1}=\frac{\rho_2}{M_2}\quad\Rightarrow\quad \rho_1=\frac{M_1}{M_2}\,\rho_2.\]

4. Масса газа постоянна. Оболочка герметична, газ не выходит: \(\rho_2V=m_2=\text{const}\). Тогда \(\rho_1V=\dfrac{M_1}{M_2}\,m_2\).

5. Подстановка. \[F=\rho_1gV-\rho_2gV=g\,m_2\left(\frac{M_1}{M_2}-1\right).\] Объём, давление \(p\) и температура \(T\) сократились; величины \(m_2\), \(M_1\), \(M_2\) с высотой не меняются. Закон изменения давления с высотой не использовался — он любой.

Обратите внимание: вывод верен, пока оболочка растягивается свободно и в ней нет избыточного давления. Когда оболочка дошла до предельного растяжения и объём перестал расти, подъёмная сила с высотой начнёт падать, потому что плотность воздуха \(\rho_1\) уменьшается, а объём \(V\) уже не растёт.

Ответ. \(F=m_2g\left(\dfrac{M_1}{M_2}-1\right)\) — от высоты не зависит. Например, для гелия (\(M_2=4\) г/моль, воздух \(M_1=29\) г/моль) \(F\approx6{,}25\,m_2g\).

Проверка. Размерность: \(m_2g\) — сила. Предел \(M_2\to M_1\) (газ как воздух): \(F\to0\) — ничего не поднимает. Предел \(M_2\to0\) (газ почти невесом): \(F\to\infty\) при фиксированной массе — чем легче газ, тем больше объём, который занимает один килограмм, и тем больше вытесненный воздух.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.