Шар-зонд

Сила сопротивления пропорциональна скорости и уравновешивает разность архимедовой силы и тяжести; коэффициент найдите из начальной скорости.

Время подъёма \(\approx18\) мин, максимальная высота \(H\approx190\) м.

10.5 При подъеме шара, на него действуют: сила тяжести \(m\vec{g}\), подъемная сила Архимеда \(\vec{F}_A\), сила сопротивления \(\vec{F}_{\text{сопр.}} = -\beta \vec{v}\), пропорциональная скорости подъема. Следовательно, уравнение второго закона Ньютона для шара будет иметь вид

\[ma = F_A - mg - \beta v.\tag{1}\]

Так как шар движется в воздухе достаточно медленно, то можно считать, что в любой момент времени сила сопротивления

уравновешивает разность сил Архимеда и тяжести. Иными словами, можно пренебречь инерционными эффектами и положить \(ma = 0\). Тогда из уравнения (1) получим выражение для скорости подъема

\[\beta v = F_A - mg.\tag{2}\]

Подъемная сила вычисляется по формуле

\[F_A = Vg(\rho_0 - \rho),\tag{3}\]

где \(\rho_0, \rho\) - плотности холодного (наружного) и теплого (внутри шара) воздуха. Эти плотности можно выразить из уравнения состояния идеального газа \(PV = \frac{m}{M}RT\):

\[\rho = \frac{m}{V} = \frac{PM}{RT}.\tag{4}\]

Используя формулы (3)-(4), получаем выражение для скорости подъема

\[\beta v = Vg \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_a} - \frac{1}{T} \right) - mg.\tag{5}\]

Неизвестный коэффициент \(\beta\) можно получить из аналогичной формулы для начальной скорости. Таким образом, окончательное выражение для скорости подъема принимает «несколько угрожающий» вид

\[v = \frac{Vg \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_a} - \frac{1}{T} \right) - mg}{Vg \frac{PM}{R} \left( \frac{1}{T_a} - \frac{1}{T_0} \right) - mg}.\tag{6}\]

По этой формуле с помощью приведенного в условии графика зависимости температуры от времени можно построить зависимость скорости подъема от времени. Для ускорения последующих расчетов в формуле (6) необходимо провести промежуточные вычисления (приведя все величины в систему СИ) и привести ее к виду, пригодному для расчетов

\[v = 2{,}305 - \frac{690}{273 + t^\circ},\tag{7}\]

где \(t^\circ\) - температура внутри шара, измеренная по шкале Цельсия. Результаты расчетов приведены в таблице и на графике.

Таким образом, мы получили, что скорость подъема убывает по линейному закону. Время подъема составляет примерно \(\tau \approx 18 \text{мин}\). Следовательно, высота подъема \(H = \frac{v_0 \tau}{2} \approx 190 \text{м}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.