Желоба в вертикальном диске

Длина хорды из верхней точки пропорциональна \(\sin\alpha\), как и ускорение, — время не зависит от угла; потом представьте расширяющуюся окружность, которая первой коснётся плоскости.

Время скольжения по всем желобам одинаково, \(t=\sqrt{4R/g}\); \(\beta=\alpha/2\).

10.3 Рассмотрим скольжение тела по произвольной прорези, образующей угол \(\alpha\) с горизонтом. Ускорение тела, движущегося по наклонной плоскости без трения, определяется известной формулой

\[a = g \sin \alpha.\tag{1}\]

Длину этой прорези также не трудно найти: отмеченные на рисунке углы равны, как углы с взаимно перпендикулярными сторонами, следовательно, длина прорези равна \(S = 2R \sin \alpha\). Используя закон равноускоренного движения \(S = \frac{at^2}{2}\), найдем время движения

\[t = \sqrt{\frac{2S}{a}} = \sqrt{\frac{4R}{g}},\tag{2}\]

которое не зависит от угла \(\alpha\), следовательно, одинаково для всех прорезей.

Воспользуемся полученным результатом для решения второй части задачи. Представим, что из точки \(A\) одновременно по разным наклонным

плоскостям начали скользить малые тела. Согласно ранее доказанному в любой момент времени они будут находиться на

одной окружности, радиус которой постоянно растет. Тогда первым достигнет наклонной плоскости тот брусок, который находится в точке касания окружности, касательной к плоскости. С помощью рисунка легко доказать, что искомый угол желоба с вертикалью равен половине угла \(\alpha\), то есть \(\beta = \frac{\alpha}{2}\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.