Пружинная пушка на тележке

Энергия выстрела не зависит от того, закреплена ли тележка; на горизонтальную ось сохраняется импульс, а скорость снаряда относительно тележки направлена под \(45^\circ\) — отсюда вертикальная скорость и время полёта.

\(S=2\dfrac{1+\eta}{2+\eta}S_0\approx3{,}6\) м.

10.1 При неподвижной тележке дальность полета рассчитывается по известной формуле

\[S_0 = \frac{2v_0^2}{g} \sin\alpha \cos\alpha = \frac{v_0^2}{g},\tag{1}\]

где \(v_0\) - начальная скорость снаряда.

При выстреле с подвижной тележки будет сохраняться механическая энергия (причем она будет равна энергии снаряда при стрельбе с неподвижной тележки) и проекция импульса на горизонтальное направление. Кроме того, скорость снаряда относительно тележки (а не относительно земли) будет направлена под углом \(\alpha = 45^\circ\) к горизонту.

Разложим вектор скорости снаряда (относительно земли) на горизонтальную \(v_x\) и вертикальную \(v_y\) составляющие, скорость

тележки обозначим \(u\). Тогда описанные условия примут вид

\[\frac{Mu^{2}}{2}+\frac{mv_{x}^{2}}{2}+\frac{mv_{y}^{2}}{2}=\frac{mv_{0}^{2}}{2},\tag{2}\]

\[Mu=mv_{x},\tag{3}\]

\[v_{y}=u+v_{x}.\tag{4}\]

Время полета можно найти по формуле

\[t=\frac{2v_{y}}{g},\tag{5}\]

тогда расстояние между снарядом и тележкой следует рассчитать по формуле

\[S=\left(v_{x}+u\right)t=\frac{2v_{y}^{2}}{g},\tag{6}\]

при выводе учтены соотношения (3) и (5). Теперь из соотношений (2)-(4) необходимо выразить компоненту скорости \(v_{y}\)

\[v_{y}^{2}=\frac{1+\eta}{2+\eta}v_{0}^{2}.\tag{7}\]

Подставляя выражения (7) и (1) в формулу (6), получаем окончательное выражение

\[S=2\frac{1+\eta}{2+\eta}S_{0}\approx 3{,}6\,\text{м}.\tag{8}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.