Слабопроводящая пластина в конденсаторе

Сначала в пластине возникает поляризация (поле в \(\varepsilon\) раз слабее), затем ток по закону Ома постепенно убирает поле внутри пластины; заряд обкладки растёт между двумя найденными значениями.

Заряд обкладки монотонно растёт от \(\dfrac{\varepsilon}{\varepsilon+1}\dfrac{\varepsilon_0US}{h}\) до \(\dfrac{\varepsilon_0US}{h}\); \(I_{\max}=\dfrac{US}{h\rho(\varepsilon+1)}\); \(\tau\approx2\rho\varepsilon_0\).

10.2 Обозначим поверхностную плотность зарядов на обкладках конденсатора \(\sigma_{0}\), а на поверхности пластины \(\sigma'\) (обе эти величины зависят от времени). Так как внутреннее сопротивление источника пренебрежимо мало, то в любой момент времени разность потенциалов между обкладками конденсатора будет равна напряжению источника. Поэтому в любой момент времени справедливо соотношение

\[\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}h+\frac{\sigma_{0}-\sigma'}{\varepsilon_{0}}h=U,\tag{1}\]

где \(\frac{\sigma_{0}}{\varepsilon_{0}}, \frac{\sigma_{0}-\sigma'}{\varepsilon_{0}}\) - напряженности электрических полей между пластиной и обкладками и внутри пластины, соответственно. Сразу после подключения источника на пластине возникнут поляризационные заряды, такие, что поле внутри пластины будет в \(\varepsilon\) раз меньше поля вне ее, то есть

\[\frac { \sigma _ { 0 } - \sigma ^ { \prime } } { \varepsilon _ { 0 } } = \frac { \sigma _ { 0 } } { \varepsilon \varepsilon _ { 0 } } .\tag { 2 }\]

Из этих соотношений находим, что плотность зарядов на обкладке конденсатора будет равной

\[\sigma _ { 0 } ^ { ( 0 ) } = \frac { \varepsilon } { \varepsilon + 1 } \cdot \frac { \varepsilon _ { 0 } U } { h } ,\tag { 3 }\]

следовательно, в начальный момент времени заряд пластины будет равен

\[Q _ { 0 } = S \sigma _ { 0 } ^ { ( 0 ) } = \frac { \varepsilon } { \varepsilon + 1 } \cdot \frac { \varepsilon _ { 0 } U S } { h } .\tag { 4 }\]

Однако, пластина слабо, но проводит электрический ток. Поэтому внутри пластины ток будет течь до тех пор, пока поле внутри пластины не исчезнет. Это произойдет при \(\sigma _ { 0 } = \sigma ^ { \prime }\). В этом случае из соотношения (1) следует

\[\sigma _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \varepsilon _ { 0 } U } { h } ,\tag { 3' }\]

соответствующий заряд на обкладке примет значение

\[Q _ { 1 } = S \sigma _ { 0 } ^ { ( 1 ) } = \frac { \varepsilon _ { 0 } U S } { h } .\tag { 4' }\]

Таким образом, заряд на пластине будет монотонно возрастать от \(Q _ { 0 }\) до \(Q _ { 1 }\).

Изменение поверхностной плотности заряда обусловлено током внутри пластины. Плотность этого тока может быть найдена по закону Ома

\[j = \frac { \Delta \sigma ^ { \prime } } { \Delta t } = \frac { E } { \rho } = \frac { \sigma _ { 0 } - \sigma ^ { \prime } } { \rho \varepsilon _ { 0 } } .\tag { 5 }\]

Плотность тока максимальна, когда максимально поле внутри пластины, то есть в начальный момент времени, когда

\[j _ { m a x } = \frac { \Delta \sigma ^ { \prime } } { \Delta t } = \frac { \sigma _ { 0 } - \sigma ^ { \prime } } { \rho \varepsilon _ { 0 } } = \frac { \sigma _ { 0 } } { \rho \varepsilon _ { 0 } \varepsilon } = \frac { U } { h \rho ( \varepsilon + 1 ) } ,\tag { 6' }\]

следовательно, максимальная сила тока

\[I _ { m a x } = j _ { m a x } S = \frac { U S } { h \rho ( \varepsilon + 1 ) } ,\tag { 6 }\]

Строго говоря, время установления равновесия зарядов на пластине и

обкладках конденсатора равно бесконечности, так как сила тока в соответствии с формулой (5) монотонно убывает. Однако характерное время зарядки конденсатора \(\tau\) мы можем получить, считая силу тока постоянной и равной \(I_{max}\). Этот метод получения оценки иллюстрирует следующий рисунок.

Изменение заряда легко подсчитать - в начальный момент времени заряд поверхности пластины

\[Q_0' = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon} Q_0 = \frac{\varepsilon - 1}{\varepsilon + 1} \cdot \frac{\varepsilon_0 US}{h},\tag{7}\]

а его конечное значение

\[Q_1' = Q_0 = \frac{\varepsilon_0 US}{h}.\tag{8}\]

Итак, оценка характерного времени заряда имеет вид

\[\tau = \frac{Q_1' - Q_0'}{I_{max}} = 2\rho\varepsilon_0.\tag{9}\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.