Спуск или подъём

Предположим сначала, что трение отсутствует. Тогда вследствие закона сохранения энергии скорость тела \(v\) после спуска по наклонной плоскости с высоты \(h\) равна скорости, которую нужно сообщить телу, чтобы оно поднялось на ту же высоту \(h\). Поскольку при подъеме и спуске ускорение по модулю одинаковое, время подъема будет равно времени спуска.

При учете силы трения скольжения скорость \(v_1\) тела после спуска в конце пути меньше скорости \(v\) (из-за работы силы трения), а скорость \(v_2\), которую нужно сообщить телу для подъема, больше \(v\) по той же причине. Поскольку спуск и подъем происходят с постоянными (хотя и разными) ускорениями, а пройденные пути одинаковы, то время спуска \(t_1\) и время подъема \(t_2\) найдем из уравнений \[s = v_1t_1/2,\qquad s = v_2t_2/2,\] где \(s\) — длина проходимого вдоль наклонной плоскости пути. Так как выполняется неравенство \(v_1 < v_2\), то легко получим, что \(t_1 > t_2\). Таким образом, при наличии силы трения скольжения время спуска с высоты \(h\) больше времени подъема на ту же высоту.

При решении задачи не принималась во внимание сила сопротивления воздуха. Тем не менее легко показать, что если наряду с силой тяжести и силой нормальной реакции наклонной плоскости имеется сила сопротивления воздуха, то независимо от конкретного вида последней время спуска всегда будет больше времени подъема. Действительно, если тело в процессе подъема оказалось на промежуточной высоте \(h'\), то, чтобы оно смогло подняться на высоту \(h\), его скорость \(v'\) на высоте \(h'\) при наличии силы сопротивления должна быть больше, чем при движении без сопротивления — часть кинетической энергии при последующем подъеме перейдет в теплоту. При спуске с высоты \(h\) тело, оказавшись на высоте \(h'\), из-за работы силы сопротивления будет иметь скорость \(v''\), которая меньше скорости тела, спускающегося в отсутствие силы сопротивления. Таким образом, проходя одну и ту же точку наклонной плоскости, на подъеме тело имеет скорость бо́льшую, чем на спуске. Поэтому небольшой участок наклонной плоскости вблизи точки \(h'\) тело на подъеме пройдет быстрее, чем на спуске. Разбивая весь путь тела на небольшие участки, видим, что на подъеме каждый такой участок будет пройден телом быстрее, чем на спуске. Следовательно, и общее время подъема будет меньше времени спуска.