Брусок на крыше

Запишем уравнения движения бруска в проекции на ось, проведенную вдоль наклонной плоскости вниз. При движении бруска вверх, учитывая все действующие на него силы: силу тяжести \(mg\), силу реакции опоры \(N\) и силу трения \(F_{\text{тр}}\) (см. рисунок), уравнение примет вид

\[mg\sin\alpha + \mu mg\cos\alpha = ma_1,\] и соответственно при движении вниз \[mg\sin\alpha - \mu mg\cos\alpha = ma_2.\] Пусть при подъеме и спуске тело прошло расстояние \(s\). Тогда время подъема \(t_1\) и время спуска \(t_2\) определим из уравнений \[s = a_1t_1^2/2,\quad s = a_2t_2^2/2.\] По условию задачи \(2t_1 = t_2\); отсюда \(4a_2 = a_1\). Следовательно, \[g\sin\alpha + \mu g\cos\alpha = 4(g\sin\alpha - \mu g\cos\alpha),\] и окончательно \[\mu = 0{,}6\operatorname{tg}\alpha.\]