Подвешенная резиновая нить

Запишем условие равновесия небольшого участка нити, который до подвешивания имел длину \(\Delta x\) и находился от точки подвеса на расстоянии \(x\) (см. рисунок):

\[\dfrac{m}{L}\Delta x\,g + T(x + \Delta x) = T(x),\] где \(L\) — длина резиновой нити в нерастянутом состоянии. Таким образом, видно, что после подвешивания натяжение по длине нити будет равномерно падать от значения \(mg\) до нуля.

В связи с этим относительные удлинения небольших участков нити одинаковой длины в ненапряженном состоянии после подвешивания также линейно будут спадать от максимального до нуля. Поэтому полусумма удлинений двух симметрично расположенных относительно середины нити участков будет равна удлинению центрального участка, который испытывает натяжение \(mg/2\). Поэтому общее удлинение нити \(\Delta l\) будет таким, как если бы на нее действовала сила \(mg/2\) в точке подвеса и в нижнем конце, а нить была бы невесома; отсюда \[\Delta l = mg/(2k).\]