Массивный канат, распределённая нагрузка

Запишите теорему о движении центра масс каната: сумма внешних сил равна \(m\vec a_{\text{цм}}\). Найдите ускорение центра масс, разбив канат на малые элементы, ускорения которых направлены по касательной.

\(R_{\text{р}} = ma\,\dfrac{\sqrt{4+\pi^2}}{\pi^2}\),  \(\alpha = \operatorname{arctg}\dfrac{\pi}{2}\).

Натяжение вертикального участка равно весу свисающей под ним части верёвки. Рассмотрите, какие две конфигурации возможны, и в каждой используйте предельное отношение натяжений.

\(5\) м.

Работа равна изменению потенциальной энергии каната. Используйте симметрию: левая и правая трети каната после первого шага устроены одинаково, а что изменится при втором?

12 Дж.

Из равновесия всей системы (нить с грузом) \(\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0\) находятся проекции поля через натяжение \(T\) в точке крепления. Вторая связь — между натяжениями на концах нити: мысленно протяните нить вдоль самой себя на \(dl\) и приравняйте работу натяжений изменению энергии нити в поле.

\(E = \dfrac{mg}{\lambda L}\sqrt{1 + \left(\dfrac{L - H}{L - S}\right)^2}\).

Пусть \(\vec T\) — сила, действующая на нить в точке её крепления, равная по модулю силе натяжения нити в данной точке. Тогда, поскольку система расположена в равновесии: \[\vec T + m\vec g + \lambda L\vec E = 0.\] Введём систему координат \(xy\), где ось \(x\) направлена вправо, а ось \(y\) — вертикально вверх. Тогда из условия равновесия: \[E_y = \frac{mg}{\lambda L}, \qquad E_x = \frac{T}{\lambda L}.\] Свяжем силы натяжения нити \(T_0 = mg\) в точке крепления груза и \(T\) в точке крепления нити. Приведём два способа получения данной связи.

Первый способ. Воспользуемся методом виртуальных перемещений. Мысленно поместим нить в гладкую трубку, повторяющую форму нити. Это не изменит силу натяжения, потому что нить с трубкой не взаимодействует. Сдвинем нить вдоль трубки на величину \(dl\) в направлении от точки крепления груза к точке крепления нити. Тогда изменение формы нити эквивалентно перемещению участка нити длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити, поскольку форма остальной части нити не изменится. Поскольку сила натяжения невесомой нити направлена вдоль нити, работа сил, приложенных к концам нити, на указанном виртуальном перемещении равна: \[\delta A = T\,dl - T_0\,dl = T\,dl - mg\,dl.\] Совершаемая силами натяжения работа равна изменению потенциальной энергии нити в электростатическом поле: \[\delta A = dW_p.\] Поскольку перемещение нити эквивалентно перемещению её участка длиной \(dl\) из точки крепления груза в точку крепления нити — изменение потенциальной энергии нити в электростатическом поле равно изменению потенциальной энергии соответствующего участка нити: \[dW_p = \lambda\,dl\,(\varphi - \varphi_0) = \lambda\,dl\,\Delta\varphi,\] где \(\varphi\) и \(\varphi_0\) — потенциалы электростатического поля в точках крепления нити и груза соответственно. Для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) имеем: \[\Delta\varphi = -E_x(x - x_0) - E_y(y - y_0).\] Поскольку \(x - x_0 = -S\), а \(y - y_0 = H\), для изменения потенциала \(\Delta\varphi\) находим: \[\Delta\varphi = E_xS - E_yH.\] Таким образом: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Второй способ. Рассмотрим бесконечно малый элемент нити длиной \(dl\). Условие его равновесия записывается следующим образом: \[\left(\vec T + d\vec T\right) - \vec T + \vec E\lambda\,dl = 0.\] Проецируя на направление касательной к нити, получим: \[dT + \lambda E_\parallel\,dl = 0.\] Пусть касательная к нити образует угол \(\varphi\) с вертикалью. Тогда для \(E_\parallel\) имеем:

\[E_\parallel = E\cos\varphi - E\sin\varphi,\] откуда: \[dT + E_y\lambda\,dl\cos\varphi - E_x\lambda\,dl\sin\varphi = 0.\] Но при этом \(dl\cos\varphi = dy\), а \(dl\sin\varphi = -dx\), откуда: \[dT + E_y\lambda\,dy + E_x\lambda\,dx = 0.\] Суммируя, получим: \[T - T_0 = T - mg = -E_y\lambda(y - y_0) - E_x\lambda(x - x_0).\] Поскольку \(y - y_0 = H\), а \(x - x_0 = -S\), получим: \[T - mg = \lambda(E_xS - E_yH).\]

Но поскольку \(T = \lambda LE_x\): \[\lambda LE_x - mg = \lambda(SE_x - HE_y) = \lambda SE_x - \lambda H\cdot\frac{mg}{\lambda L} \;\Rightarrow\; E_x = \frac{mg}{\lambda L}\,\frac{L - H}{L - S}.\] Для напряжённости электростатического поля имеем: \[E = \sqrt{E_x^2 + E_y^2},\] откуда: \[E = \frac{mg}{\lambda L}\sqrt{1 + \left(\frac{L - H}{L - S}\right)^2}.\]

Растяжение каждой пружинки определяется весом всех шариков, висящих под ней. Сравните это с тем, как нагружена пружинка в горизонтальной цепочке.

A) \(L_A = \dfrac{L_0}{2}\);  B) \(L_B = \dfrac{L_0}{8}\), парабола.

Горизонтальная часть верёвки не меняет своей высоты, поэтому изменение потенциальной энергии определяется только опусканием той части, что переходит в вертикальную. Импульс верёвки "— векторная величина: учтите, что горизонтальная и вертикальная части движутся в разных направлениях.

1) \(80\) см;  2) \(4\) м/с;  3) \(0{,}33\) кг\(\cdot\)м/с.

Работает закон сохранения энергии: считайте, как меняется потенциальная энергия, когда часть верёвки переходит из горизонтальной части в вертикальную. Импульс — это \(m_\text{вис}v\) плюс \(m_\text{гор}v\) с учётом направлений скоростей на двух участках.

1) \(80\) см;  2) \(4\) м/с;  3) \(0{,}33\) кг\(\cdot\)м/с.

Рассмотрите малый элемент цепочки: на него действуют сила тяжести, натяжение нити и две силы натяжения цепочки, равнодействующая которых направлена к оси.

1) 0{,}3 Н;  2) 5 рад/с.

Свободная (не натянутая силой) часть цепочки просто падает. Центр масс всей цепочки движется с постоянным ускорением \(g - F/m\); ещё проще — перейти в систему отсчёта, свободно падающую с ускорением \(g\): там на цепочку действует одна сила \(F\).

1) \(a_0 = g\);  2) \(\tau = \sqrt{2Lm/F}\);  3) \(v = \left|g - \dfrac{F}{m}\right|\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\);  4) \(Q = FL\);  5) \(T = F/2\).

1. После пережигания нити длина вертикального участка цепочки, на край которой действует сила \(F\), будет увеличиваться. Другой участок цепочки сокращающейся длины будет двигаться только под действием силы тяжести, значит модуль ускорения верхнего края цепочки сразу после пережигания и до момента полного разворота цепочки равен \[a_0 = g.\]

2. Способ 1. Согласно теореме о движении центра масс ускорение центра масс цепочки в проекции на ось \(y\) (см. рисунок) равно \(a_y = \dfrac{mg - F}{m} = g - \dfrac{F}{m}\). За время \(\tau\) центр масс цепочки сместится вдоль оси \(y\) на \(\dfrac{a_y\tau^2}{2}\). Верхний край цепочки за время \(\tau\) переместится на расстояние \(\dfrac{g\tau^2}{2}\), значит \(L + \dfrac{a_y\tau^2}{2} = \dfrac{g\tau^2}{2}\). С учётом полученных соотношений \[\tau = \sqrt{\frac{2Lm}{F}}.\]

Способ 2. Ответ на вопрос можно получить и другим способом. Пересядем из лабораторной системы отсчёта (далее — ЛСО) в неинерциальную систему отсчёта (далее — НеИСО), падающую вниз без начальной скорости с ускорением свободного падения \(g\). В этой системе отсчёта изначально неподвижная цепочка приходит в движение под действием лишь одной силы \(F\). И сумма действующих на любой элементарный (малый) участок силы тяжести и силы инерции равна нулю. В этом случае центр масс цепочки движется согласно теореме о движении центра масс с ускорением \(a' = F/m\) и проходит за искомое время \(\tau\) расстояние \(L\). А значит \(\tau = \sqrt{2L/a'}\), что дает тот же ответ.

3. Способ 1. Через время \(\tau\) все части цепочки движутся с одинаковой скоростью, равной скорости её центра масс. А значит \(v = |v_y| = |a_y|\tau\), то есть \[v = \left|g - \frac{F}{m}\right|\sqrt{\frac{2Lm}{F}}.\]

Способ 2. Ответ на этот пункт можно получить, также используя пересадку в НеИСО. Скорость в данной системе отсчёта сразу после разворота цепочки равна \(v' = a'\tau = \dfrac{F}{m}\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}} = \sqrt{\dfrac{2FL}{m}}\) и направлена вверх. В данный момент выбранная система отсчёта будет двигаться вниз со скоростью \(v_c = g\tau = g\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\). При пересадке обратно в ЛСО с учётом закона сложения скоростей получаем \(v_y = v_c - v' = \left(g - \dfrac{F}{m}\right)\sqrt{\dfrac{2Lm}{F}}\). А значит \(v = |v_y|\).

4. Способ 1. Работа \(A_F\) силы \(F\) равна сумме изменения механической энергии \(\Delta E_\text{мех}\) цепочки и выделившегося количества теплоты \(Q\): \(A_F = \Delta E_\text{мех} + Q\), где \(A_F = F\left(L - \dfrac{a_y\tau^2}{2}\right)\), \(\Delta E_\text{мех} = \Delta K + \Delta\varPi = \dfrac{mv^2}{2} - mg\dfrac{a_y\tau^2}{2}\). Откуда находим \(Q = FL\).

Способ 2. В НеИСО к моменту полного разворота цепочки точка приложения силы \(F\) переместится на \(2L\), а значит её работа равна \(2FL\). Изменение кинетической энергии цепочки равно \(\dfrac{mv'^2}{2} = FL\). С учётом этого находим выделившееся количество теплоты \(Q = 2FL - FL = FL\) (как разность работы силы \(F\) и изменения кинетической энергии).

5. Способ 1. После распрямления цепочки выделим нижнюю половину нити (ниже точки \(B\)) массой \(m/2\) и запишем для этого участка теорему о движении центра масс в проекции на ось \(Oy\): \(\dfrac{m}{2}a_y = \dfrac{m}{2}g - T\). В итоге получаем \[T = \frac{F}{2}.\]

Способ 2. Рассматривая движение в НеИСО, на нижнюю половину цепочки после её разворота будет действовать сила \(T = \dfrac{m}{2}a' = \dfrac{F}{2}\).

Мысленно разбейте пружину на малые участки: каждый растянут своей силой (весом груза и нижней части пружины), и длины участков складываются в интеграл. В пункте с \(f_0<1\) верхняя часть пружины не растягивается вовсе.

1) \(y=\Delta L\left(1+\dfrac{F-F_0}{kL_0}\right)\);  2) \(L_1=\left(\dfrac32+\mu-f_0\right)L_0\);  3) \(L_2=L_0\left(1+\dfrac{(1-f_0)^2}{2\gamma}\right)\);  4) \(f_0=0{,}8\), \(\gamma=2\).

Пункт 1. В условии сказано, что параметры \(F_0\) и \(\varepsilon\) остаются для любого куска пружины такими же, как для всей пружины, поэтому ответ на первый вопрос даётся формулой \[y=\Delta L\left(1+\frac{F-F_0}{kL_0}\right). \tag{1}\]

Пункт 2. В условиях этого пункта (\(\mu>f_0\)) любой элемент пружины деформируется под нагрузкой. Длину растянутой пружины можно найти, рассуждая следующим стандартным образом. Разделим всю недеформированную пружину на участки небольшой длины \(\Delta L\), пусть общее количество таких участков \(N\gg1\). Пусть участок с номером 1 будет самым верхним, тогда участок с номером \(k\) растягивается силой \[F_k=Mg\left(\mu+\frac{L_0-x_k}{L_0}\right), \tag{2}\] где \(x_k=k\Delta L\). Подставляя значение силы из формулы (15) в соотношение (14), и заменяя \(\Delta L\) на \(dx\), \(x_k\) на \(x\), а \(y\) на \(dy\), получаем равенство \[dy=dx\left(1+\frac1\gamma+\frac{\mu-x/L_0}{\gamma}-\frac{f_0}{\gamma}\right).\] Поскольку \(\gamma=1\), определение длины пружины под нагрузкой сводится к интегрированию \[L_1=\int\limits_0^{L_0}\left(2+\mu-\frac{x}{L_0}-f_0\right)dx=\left(\frac32+\mu-f_0\right)L_0.\] Отметим, что интеграл может быть вычислен, как площадь под прямой.

Пункт 3. В этом пункте часть пружины не растягивается, на неё действует сила, меньшая, чем \(F_0\). Длина этого участка пружины равна \[L'=L_0\cdot f_0. \tag{3}\] В этом случае формула, дающая связь силы и координаты \(x\), аналогичная (15), имеет вид \[F=Mg\left(1-\frac{x}{L_0}\right). \tag{4}\] Длина растягивающейся части пружины равна \[L_2'=\int\limits_0^{L_0(1-f_0)}\left(1+\frac1\gamma-\frac{x}{\gamma L_0}-\frac{f_0}{\gamma}\right)dx. \tag{5}\] Вычисляя интеграл (18) и прибавляя длину нерастягивающейся части пружины (16), получаем ответ \[L_2=L'+L_2'=L_0\left(1+\frac{(1-f_0)^2}{2\gamma}\right).\]

Пункт 4. Изучив таблицу, заметим, что при значениях относительной массы груза \(\mu\ge0{,}8\) зависимость \(\delta L(\mu)\) линейная. Это означает, что при достаточно больших относительных массах груза все участки пружины удлиняются под нагрузкой (при малых \(\mu\) это не так). Рассуждая, как в пункте 2, получим для больших относительных масс соотношение \[\gamma=\frac{\delta L(\mu_2)-\delta L(\mu_1)}{\mu_2-\mu_1},\] из которого (с учётом значений, приведённых в таблице) следует ответ: \(\gamma=2\). Для определения относительной силы поджатия \(f_0\) используем результат предыдущего пункта. При \(\mu=0\) из формулы (19) следует соотношение \[\delta L(0)=\frac{(1-f_0)^2}{2\gamma}.\] Подставив найденное значение \(\gamma=2\) и \(\delta L(0)=0{,}01\) в эту формулу, находим второй ответ \(f_0=0{,}8\).

Сила Ампера, действующая на кусок нити любой формы, зависит только от положения его концов: её проекции равны \(IB\,\Delta y\) и \(-IB\,\Delta x\). Так как сила Ампера перпендикулярна нити, натяжение меняется только из-за тяжести: \(dT = \rho g\,dy\).

1) \(m = \dfrac{IBL}{g}\), \(T_D = \dfrac{IBL}{4\sqrt3}\);  2) \(T_C = 2T_D = \dfrac{IBL}{2\sqrt3}\);  3) \(d = \dfrac{L}{3\sqrt3}\).

Чтобы найти силу, с которой однородное магнитное поле воздействует на проводник \(MN\) с током, имеющий сложную форму, возьмём маленький участок проводника длины \(dl\). Сила, действующая на него, равна \(dF = IB\,dl\) и направлена перпендикулярно (см. рис.). Проекции этой силы на оси координат равны \[dF_x = IB\,dl\cos\alpha = IB\,dy, \qquad dF_y = -IB\,dl\sin\alpha = -IB\,dx.\] Таким образом, суммируя по всем участкам проводника, получим, что \[F_x = IB(y_N - y_M), \qquad F_y = -IB(x_N - x_M),\] где \((x_M; y_M)\) и \((x_N; y_N)\) — координаты точек \(M\) и \(N\) соответственно.

Пусть \(T_A\) — сила натяжения нити в верхней точке, а \(\rho = m/L\) — линейная плотность нити. Рассмотрим правую половину нити и запишем условия равновесия для сил в проекциях на горизонтальную и вертикальную оси: \[\left\{\begin{aligned} &T_A\cos30^\circ = mg/2,\\ &T_A\sin30^\circ + T_D = IBH \end{aligned}\right.\] Отсюда найдём \[\left\{\begin{aligned} &T_A = mg/\sqrt3,\\ &T_A/2 + T_D = IBL\cdot\sqrt3/4 \end{aligned}\right.\] Применяя метод виртуальных перемещений, получим \[T_A - T_D = \rho gH = \frac{mgH}{L} = \frac{mg\sqrt3}{4}.\] Отсюда следует, что \[T_A - T_D = \frac{3T_A}{4} \quad\Rightarrow\quad T_A = 4T_D \quad\Rightarrow\quad T_D = \frac{IBL}{4\sqrt3},\] \[mg = \sqrt3\,T_A = 4\sqrt3\,T_D = IBL \quad\Rightarrow\quad m = \frac{IBL}{g}.\]

Рассмотрим участок нити \(CD\) и запишем условие равновесия для сил в проекции на горизонтальную ось: \[T_D = IBh,\] где \(h\) — высота точки \(C\) относительно точки \(D\), равная, соответственно, \[h = \frac{T_D}{IB} = \frac{L}{4\sqrt3}.\] С другой стороны, применяя метод виртуальных перемещений, получим \[T_C - T_D = \rho gh \quad\Rightarrow\quad T_C - T_D = \frac{\rho g}{IB}\cdot T_D = \frac{mg}{IBL}\cdot T_D = T_D \quad\Rightarrow\quad T_C = 2T_D = \frac{IBL}{2\sqrt3}.\]

Пусть \(K\) — некоторая точка, находящаяся на высоте \(y\) относительно точки \(D\) и смещённая относительно неё на \(x\) вправо. Обозначим \(T\) силу натяжения нити в точке \(K\), \(\varphi\) — угол между касательной в точке \(K\) и горизонталью, а \(l\) — длину участка \(KD\). Тогда \[T\sin\varphi = \rho gl + IBx = IB(l + x),\] \[T\cos\varphi = T_D - IBy,\] \[T = T_D + \rho gy = T_D + IBy.\] Дифференцируя первое уравнение и учитывая, что \(dl = dx/\cos\varphi = dy/\sin\varphi\), получим \[d(T\sin\varphi) = IB(dl + dx) = IB\,dy\cdot\frac{1 + \cos\varphi}{\sin\varphi}.\] С другой стороны, \[T(1 + \cos\varphi) = 2T_D,\] откуда имеем \[T\sin\varphi\cdot d(T\sin\varphi) = 2T_D\cdot IB\,dy \quad\Rightarrow\quad \frac{(T\sin\varphi)^2}{2} = 2T_D\cdot IBy \quad\Rightarrow\quad T\sin\varphi = 2IB\sqrt{hy}.\] Учитывая, что \(\operatorname{tg}\varphi = dy/dx\), окончательно получим значение \(d\): \[\frac{dy}{dx} = \frac{2IB\sqrt{hy}}{IB(h - y)} \quad\Rightarrow\quad \frac d2 = \frac{1}{\sqrt h}\int_0^h \frac{h - y}{2\sqrt y}\,dy = h - \frac13 h = \frac23 h \quad\Rightarrow\quad d = \frac{4h}{3} = \frac{L}{3\sqrt3}.\]