Верёвка на полушаре

Верёвку втягивают медленно, поэтому сумма сил на любой её кусок равна нулю, а сила трения на лежащей части максимальна. Рассмотрите равновесие висящего куска \(BC\) и лежащего куска \(CD\).

Поскольку верёвку втягивают медленно, в каждый момент сумма сил, действующих на неё и на любую её часть, равна нулю, а сила трения равна своему максимальному значению.

Для висящего куска \(BC\) массой \(m_1\) условия равновесия в проекциях на вертикаль и горизонталь дают \[T_B \sin\alpha = m_1 g, \qquad T_B \cos\alpha = T_C ,\] откуда \[T_C = m_1 g\operatorname{ctg}\alpha .\]

Для лежащего куска \(CD\) массой \(m_2\) (сила реакции опоры \(N\), сила трения \(\mu N\)): \[N = m_2 g, \qquad T_C = \mu N .\] Отсюда \(m_1\operatorname{ctg}\alpha = \mu m_2\), где \(m_1 = \dfrac{m_{CD}}{3}\) и \(m_2 = m_{CD}\), так что \[\mu = \frac{m_1}{m_2}\operatorname{ctg}\alpha = \frac{1}{3}\operatorname{ctg}\alpha .\] Чтобы найти силу \(F\), приложенную в точке \(A\), рассмотрим равновесие участка \(AB\). Разобьём его на малые элементы \(\Delta m\); для элемента, лежащего на полушаре и наклонённого под углом \(\varphi\), вдоль элемента \[T_{\text{в}} - T_{\text{н}} = \Delta m\,g\sin\varphi .\]

Складывая такие соотношения по всем элементам, сокращаются все внутренние силы; сумма \(\sum \Delta l\,\sin\varphi\) есть проекция участка \(AB\) на вертикаль, равная \(R(1 - \cos\alpha)\). Линейная плотность верёвки \(\lambda\) выражается через массу участка на полушаре \(m_{AB} = \lambda\alpha R\) (\(\alpha\) в радианах), поэтому \[F = T_B + \lambda R g(1 - \cos\alpha) = T_B + \frac{m_{AB}\,g\,(1 - \cos\alpha)}{\alpha} .\]

Массу участка \(AB\) найдём как \[m_{AB} = m - m_{CD} - m_{BC} = m - m_{CD} - \frac{m_{CD}}{3} = \frac{3m - 4m_{CD}}{3} .\] Окончательно, с учётом \(T_B = \dfrac{m_{CD}\,g}{3\sin\alpha}\), \[F = \frac{m_{CD}\,g}{3\sin\alpha} + \frac{(3m - 4m_{CD})\,g\,(1 - \cos\alpha)}{3\alpha}.\]