Бусинка на кольце с пружиной

Скорость бусинки максимальна там, где касательные составляющие силы упругости и силы тяжести уравновешивают друг друга. Какая сила упругости действует в нижней точке?

Пусть коэффициент жёсткости пружины равен \(k\), её длина в недеформированном состоянии \(l_0\). В нижнем положении пружина растянута, и сила упругости равна \(F_{\text{упр}} = 3mg\) (чтобы обеспечить давление бусинки на кольцо с силой, вдвое превышающей её силу тяжести). Поэтому \[k\,(2R - l_0) = 3mg .\] Движение бусинки вдоль кольца определяется касательными составляющими сил упругости и тяжести. Скорость бусинки максимальна, когда бусинка проходит треть полукольца, т.е. направление на бусинку составляет угол \(60^\circ\) с вертикалью. В этом положении длина пружины равна \(2R\cos 30^\circ\), и условие максимальности скорости \[F_{\text{упр}}\cos 60^\circ = mg\cos 30^\circ ,\] или \[k\left(2R\,\frac{\sqrt{3}}{2} - l_0\right)\frac{1}{2} = mg\,\frac{\sqrt{3}}{2}.\]

Деля первое уравнение на второе, получаем \(l_0 = \dfrac{R}{\sqrt{3} - 1} = 1{,}37\,R\).