Две пружины из одной проволоки

Пружина растягивается за счёт закручивания проволоки. Найдите, как удлинение зависит от диаметра витков и числа витков, помня, что проволоки одинаковой длины.

На \(\dfrac45\) своей длины.

Что происходит. Груз растягивает пружину, закручивая её проволоку: каждое сечение проволоки находится под моментом силы. Закручивание проволоки на угол \(\psi\) опускает конец пружины. Нужно связать удлинение с диаметром витка и числом витков и применить ко второй пружине.

Обозначения. Для пружины: \(D\) — диаметр витка (для первой \(D=d\), для второй \(2d\)), \(n\) — число витков, \(a\) — радиус проволоки, \(G\) — модуль сдвига стали, \(P\) — вес груза, \(l\) — длина ненагруженной пружины, \(\Delta l\) — удлинение. Растяжения малы, угол подъёма витка мал.

1. Момент в проволоке. Сила \(P\) действует вдоль оси пружины, плечо относительно проволоки в любом сечении витка равно радиусу витка \(D/2\). Значит, проволока закручивается моментом \(M_t=PD/2\).

2. Закручивание. Проволока длиной \(L=\pi Dn\) и радиуса \(a\) закручивается на полный угол \(\psi=\dfrac{M_tL}{GJ}\), где \(J=\dfrac{\pi a^4}{2}\) — полярный момент сечения (это закон Гука при кручении). Подставляем: \[\psi=\frac{PD}{2}\cdot\frac{\pi Dn}{G\,\pi a^4/2}=\frac{PD^2n}{Ga^4}.\]

3. Удлинение. Закручивание проволоки на малый угол \(d\psi\) опускает нижний конец витка на \(\dfrac D2\,d\psi\). Складывая по всей длине проволоки, получаем \(\Delta l=\dfrac D2\psi\), то есть \[\Delta l=\frac{P\,D^3\,n}{2\,G\,a^4}\ \propto\ n\,D^3\quad(\text{при том же грузе и той же проволоке}).\] Это стандартная жёсткость пружины: \(k=P/\Delta l=Ga^4/(4nR^3)\) при \(R=D/2\).

4. Вторая пружина. Обе пружины свиты из проволоки одной длины: \(\pi Dn=\text{const}\), значит \(nD\) одинаково. У второй пружины \(D_2=2D_1\), поэтому \(n_2=n_1/2\). Отношение удлинений: \[\frac{\Delta l_2}{\Delta l_1}=\frac{n_2}{n_1}\left(\frac{D_2}{D_1}\right)^3=\frac12\cdot8=4.\]

5. Длины пружин. У пружины из плотно навитых витков длина пропорциональна числу витков (\(l=n\delta\), \(\delta\) — диаметр проволоки), значит \(l_2=l_1/2\). Относительное растяжение: \[\frac{\Delta l_2}{l_2}=\frac{4\,\Delta l_1}{l_1/2}=8\cdot\frac{\Delta l_1}{l_1}=8\cdot\frac1{10}=\frac45.\]

Обратите внимание: удлинение пружины пропорционально \(nD^3\), а не \(nD^2\). Вторая пружина растягивается в \(4\) раза сильнее первой (в \(8\) раз сильнее в относительных единицах), потому что и плечо силы, и длина закручиваемой проволоки каждого витка растут вдвое. В книге принято, что угол раскрытия витка зависит только от момента, а длина проволоки витка не учтена: там получено \(\tfrac25\).

Ответ. В буквах: \(\dfrac{\Delta l_2}{l_2}=8\,\dfrac{\Delta l_1}{l_1}\); в числах: \(\dfrac{\Delta l_2}{l_2}=\dfrac45\) — на \(0{,}8\) своей длины.

Проверка. Размерность: \(PD^3n/(Ga^4)\) — Н\(\cdot\)м\(^3\)/(Па\(\cdot\)м\(^4\)) = м. Предел: пружина с очень тонкой проволокой (малое \(a\)) растягивается сильнее — верно. Второй способ: жёсткость \(k=Ga^4/(4nR^3)\) у второй пружины в \(\dfrac{n_1}{n_2}\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^3=2\cdot\dfrac18=\dfrac14\) раза меньше, то есть при том же грузе удлинение в \(4\) раза больше — то же самое.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.