Бег по ленте

Закон сохранения импульса верен для замкнутой системы. Ролики закреплены, то есть связаны с Землёй: подумайте, какие горизонтальные силы действуют на систему <<человек + лента + ролики>> и откуда они берутся.

Система <<человек — лента>> не замкнута: оси роликов (то есть Земля) действуют на неё горизонтальной силой, поэтому импульс системы не сохраняется. Человек может сместиться относительно Земли и сбежать с ленты; его скорость относительно Земли связана со скоростью ленты равенством \(mv=M_{\text{эф}}w\).

Что происходит. Рассуждение в условии применяет закон сохранения импульса к системе, на которую действуют внешние силы. Отсутствие трения в осях означает, что на ролики нет момента сил, но не означает, что оси не действуют на ролики силой: опоры осей, закреплённые на Земле, действуют на ролики и через них на ленту. Поэтому у системы <<человек + лента>> есть внешняя горизонтальная сила, и импульс не сохраняется.

Обозначения. Ось \(x\) направлена туда, куда бежит человек. \(m\) — масса человека, \(v\) — его скорость относительно Земли. Верхняя часть ленты едет назад (против оси \(x\)) со скоростью \(w\). \(M_{\text{эф}}=M+2I/R^2\) — <<приведённая масса>> ленты и роликов (лента массой \(M\), два ролика с моментами инерции \(I\) и радиусом \(R\) вращаются без проскальзывания ленты, так что кинетическая энергия ленты и роликов равна \(\tfrac12M_{\text{эф}}w^2\)).

1. Силы на систему. Второй закон Ньютона для человека в проекции на ось \(x\): \(m\,\dot v=F\), где \(F\) — сила трения о ленту (воздух не учитываем). По третьему закону Ньютона на ленту сверху действует сила \(F'=-F\), то есть против оси \(x\).

2. Лента и ролики. Лента замкнутая: верхняя часть едет назад, нижняя вперёд, поэтому суммарный импульс ленты равен нулю при любой скорости \(w\) и не может меняться. Значит, сумма внешних горизонтальных сил на <<ленту с роликами>> равна нулю: сила \(F'\) (на верхнюю часть) уравновешивается силами \(\vec R_1+\vec R_2\) со стороны осей роликов, то есть \(\vec R_1+\vec R_2=-\vec F'=\vec F\). Вдоль ленты сила \(F\) раскручивает её: сила приложена к участку, движущемуся против оси \(x\) со скоростью \(w\), и мощность этой силы идёт на рост кинетической энергии ленты и роликов (лента не проскальзывает ни по роликам, ни по подошве в момент отталкивания): \(F\,w=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac12M_{\text{эф}}w^2\right)\), откуда \(M_{\text{эф}}\,\dot w=F\).

3. Что из этого следует. Из \(m\dot v=F\) и \(M_{\text{эф}}\dot w=F\) (человек и лента начинают с покоя) получаем \(m\,v=M_{\text{эф}}\,w\) в любой момент. Это не закон сохранения импульса системы: полный импульс <<человек + лента + ролики>> равен \(mv\) и растёт под действием сил \(\vec R_{1,2}\) от Земли. Значит, как только человек разгоняется (\(v>0\)), лента набирает скорость \(w=mv/M_{\text{эф}}\) в обратную сторону, и положение человека относительно Земли меняется: \(x(t)=\int v\,dt\).

4. Почему можно сбежать. Концы ленты неподвижны относительно Земли (ролики закреплены), поэтому человек покидает ленту, когда его координата \(x\) достигает переднего ролика. Скорость \(v>0\) возможна: человек разгоняется (\(F\ne0\)), а затем бежит равномерно (\(F=0\), сила трения не нужна, лента по инерции крутится с постоянной скоростью \(w\)). Чтобы <<стоять на месте>>, как следует из условия, он вообще не должен был бы ускоряться относительно Земли; но, разгоняясь, он неизбежно смещается вперёд.

5. Цифры для иллюстрации. При \(m=70\) кг, \(M_{\text{эф}}=140\) кг и ускорении человека \(a=1\) м/с\(^2\) в течение \(3\) с: \(v=3\) м/с, \(w=mv/M_{\text{эф}}=1{,}5\) м/с, скорость относительно ленты \(u=v+w=4{,}5\) м/с, смещение относительно Земли за эти \(3\) с равно \(at^2/2=4{,}5\) м.

Обратите внимание: <<положение центра масс ленты не меняется>> — верно, но этого недостаточно. Лента не свободна: она давит на ролики, а ролики закреплены, поэтому <<центр масс системы человек — лента>> смещается, когда человек разгоняется. Сохраняется не импульс, а соотношение \(mv=M_{\text{эф}}w\).

Ответ. Система <<человек — лента>> не замкнута (ролики закреплены на Земле, и оси действуют на них горизонтальной силой, равной силе трения человека о ленту), поэтому закон сохранения импульса к ней не применим; человек разгоняется относительно Земли, лента раскручивается в обратную сторону, \(mv=M_{\text{эф}}w\), и человек может добежать до края ленты.

Проверка. Размерность: \(m\,v\) и \(M_{\text{эф}}w\) — кг\(\cdot\)м/с. Энергия: работа мышц \(\tfrac12mv^2+\tfrac12M_{\text{эф}}w^2\) — растёт, импульс системы не сохраняется. Предел \(M_{\text{эф}}\to\infty\) (ленту нельзя раскрутить): \(w\to0\), человек бежит как по неподвижной земле, и \(F\) — обычная сила трения.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.