Человек в лодке

Напишите, как изменяется импульс системы <<лодка + человек>> за малое время, и сложите изменения за всё время движения. Сила сопротивления воды — единственная внешняя горизонтальная сила.

Пока человек идёт, лодка движется назад (на корму), затем, когда человек остановился, лодка движется вперёд и останавливается точно в своём первоначальном положении: полное смещение лодки равно нулю при любом коэффициенте сопротивления.

Что происходит. Когда человек идёт вперёд, он отталкивается от лодки, и лодка уезжает назад (как без сопротивления). Но сопротивление воды \(-\alpha v\) действует на лодку против её скорости и передаёт системе импульс вперёд. Эти импульсы складываются в суммарный импульс системы, а при остановке всего он снова нуль. Из этого следует, что полное смещение лодки равно нулю.

Обозначения. Ось \(x\) направлена от кормы к носу. \(M\) — масса лодки, \(m\) — масса человека, \(v\) — скорость лодки относительно воды, \(u\) — скорость человека относительно воды, \(w=u-v\) — скорость человека относительно лодки, \(\alpha\) — коэффициент сопротивления: \(F_\text{тр}=-\alpha v\). Сопротивление, действующее на человека, не учитываем.

1. Импульс системы. Импульс системы <<лодка + человек>> равен \(P=Mv+mu\). Внешние горизонтальные силы — только сила сопротивления воды. Второй закон Ньютона для системы за малое время \(dt\): \(dP=-\alpha v\,dt=-\alpha\,dx\), где \(dx=v\,dt\) — смещение лодки.

2. Суммирование за всё время. Складываем изменения от начала до конца всего движения: \(P_\text{кон}-P_\text{нач}=-\alpha\,x_\text{полн}\), где \(x_\text{полн}\) — полное смещение лодки.

3. Начало и конец. Вначале всё покоится, \(P_\text{нач}=0\). В конце лодка останавливается (трение гасит остаточную скорость), а человек стоит на ней, значит \(v=0\), \(u=0\), \(P_\text{кон}=0\). Отсюда \(-\alpha x_\text{полн}=0\), \(x_\text{полн}=0\) (при \(\alpha\ne0\)): лодка возвращается туда, откуда начала.

4. Ход движения. Пока человек разгоняется относительно лодки, \((M+m)v+mw=P\), откуда \(v=\dfrac{P-mw}{M+m}\). В начале \(P=0\) и \(v=-\dfrac{mw}{M+m}<0\) — лодка едет назад. Сопротивление при этом толкает лодку вперёд, и \(P\) растёт: \(\dot P=-\alpha v>0\). Когда человек перестаёт двигаться относительно лодки (\(w=0\)), \(v=P/(M+m)>0\): лодка едет вперёд и затухает по закону \(v\propto e^{-\alpha t/(M+m)}\) (постоянная времени \((M+m)/\alpha\)). Пройденный ею вперёд путь \(P/\alpha\) в точности равен пути назад.

5. Цифры для иллюстрации. \(M=100\) кг, \(m=70\) кг, \(\alpha=60\) кг/с; человек идёт вдоль лодки со скоростью \(w=1\) м/с в течение \(4\) с (разгон и торможение по \(0{,}5\) с), то есть проходит \(3{,}5\) м. Численное решение уравнения \((M+m)\dot v+m\dot w=-\alpha v\) даёт наибольшее смещение лодки назад \(0{,}80\) м (в конце ходьбы), затем лодка движется вперёд; к \(t=14\) с она отстаёт от исходной точки на \(2\) см и стремится к нулю.

Обратите внимание: без сопротивления (\(\alpha=0\)) лодка сместилась бы назад на \(\dfrac{m}{M+m}\cdot3{,}5\ \text{м}\approx1{,}4\) м и осталась там. Малое сопротивление не даёт лодке остаться — оно очень медленно возвращает её на прежнее место (за время \(\sim(M+m)/\alpha\)), как бы мало оно ни было.

Ответ. Пока человек идёт, лодка смещается назад (на \(\approx0{,}8\) м в нашем примере), затем, когда человек остановился, лодка едет вперёд, затухая, и останавливается в начальной точке: \(x_\text{полн}=0\) для любых \(M\), \(m\), \(\alpha\) и любого способа ходьбы.

Проверка. Размерность: \(\alpha\,x\) — кг\(\cdot\)м/с, то есть импульс. Предел \(\alpha\to0\): время возврата \((M+m)/\alpha\to\infty\), лодка остаётся смещённой на \(\dfrac{mL}{M+m}\) — как для замкнутой системы. Второй способ: интегрирование уравнения движения численно (шаг \(10^{-4}\) с) — смещение к \(14\) с равно \(-0{,}022\) м и стремится к нулю.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.