Шарики на нити

Что может делать верхний шарик, если его нить очень длинная? Запишите законы сохранения для системы двух шариков в тот момент, когда нить между ними горизонтальна.

\(v_0\ge\sqrt{2gl\,\dfrac{m_1+m_2}{m_1}}\approx 2{,}4\text{ м/с}\).

Что происходит. Нить верхнего шарика очень длинная, поэтому при небольших смещениях она остаётся практически вертикальной: горизонтальной силы на шарик \(m_1\) от неё нет, а по вертикали шарик не смещается, потому что нить нерастяжима. Значит, \(m_1\) может двигаться только по горизонтали и свободно, как бусинка на гладкой горизонтальной спице. Нижний шарик раскачивается на нити длины \(l\) вокруг такой подвижной точки. Шарики окажутся на одной высоте, когда нить между ними станет горизонтальной. Главная идея — законы сохранения для системы двух шариков и условие, что к этому моменту нижний шарик ещё не остановился по вертикали.

Обозначения. Ось \(x\) — горизонтально, по начальной скорости \(\vec v_0\). В момент, когда нить горизонтальна, \(u\) — горизонтальная скорость обоих шариков, \(v_y\) — вертикальная скорость шарика \(m_2\).

1. Скорости в нужный момент. Нить нерастяжима, поэтому скорость \(m_2\) относительно \(m_1\) перпендикулярна нити. Когда нить горизонтальна, относительная скорость вертикальна, а значит, горизонтальные проекции скоростей шариков одинаковы и равны \(u\). Вертикальная скорость \(m_1\) равна нулю, у \(m_2\) она равна \(v_y\).

2. Закон сохранения импульса в проекции на ось \(x\). Для системы <<два шарика с нитью>> внешние силы — сила тяжести и натяжение верхней нити — вертикальны (нить практически вертикальна), поэтому горизонтальная проекция импульса системы сохраняется. В начале движется только нижний шарик: \[m_2v_0=(m_1+m_2)\,u .\]

3. Закон сохранения механической энергии системы. Верхняя нить вертикальна, а шарик \(m_1\) движется по горизонтали, поэтому её натяжение работы не совершает. Нить между шариками нерастяжима: работы её сил на двух шариках в сумме нулевые. Остаётся тяжесть. Нижний шарик поднялся на \(l\), верхний остался на своей высоте: \[\frac{m_2v_0^2}{2}=\frac{(m_1+m_2)u^2}{2}+\frac{m_2v_y^2}{2}+m_2gl .\]

4. Условие существования такого момента. Подставим \(u\) из закона сохранения импульса: \[\frac{m_2v_0^2}{2}-\frac{m_2^2v_0^2}{2(m_1+m_2)}=\frac{m_1m_2}{2(m_1+m_2)}\,v_0^2 ,\] и после сокращения на \(m_2\) \[v_y^2=\frac{m_1}{m_1+m_2}\,v_0^2-2gl .\] Нить может стать горизонтальной, только если \(v_y^2\ge0\). Отсюда \[v_0\ge\sqrt{2gl\,\frac{m_1+m_2}{m_1}}=\sqrt{2\cdot10\cdot0{,}2\cdot1{,}5}\ \text{м/с}=\sqrt6\ \text{м/с}\approx2{,}4\text{ м/с}\quad(g=10\text{ м/с}^2).\] При \(v_0\) ровно такой нижний шарик в горизонтальном положении нити на мгновение неподвижен относительно верхнего. При большей скорости он проходит горизонталь с вертикальной скоростью \(v_y>0\) и поднимается выше.

Обратите внимание: верхний шарик нельзя считать закреплённым. При этом получилось бы \(v_0\ge\sqrt{2gl}=2{,}0\) м/с, как у обычного маятника. Подвижность \(m_1\) уносит часть энергии в его кинетическую энергию, и нужна бо́льшая скорость.

Нить \(l\) остаётся натянутой на всём пути. Ниже горизонтали составляющая силы тяжести \(m_2\) вдоль нити направлена от точки подвеса, а в горизонтальном положении натяжение равно \(T=\dfrac{m_1m_2}{m_1+m_2}\dfrac{v_y^2}{l}\ge0\) (запишем второй закон Ньютона для относительного движения по окружности радиуса \(l\)). Верхняя нить натянута, потому что нижний шарик тянет её вниз.

Проверка. Размерность: \(gl\) — м\(^2\)/с\(^2\), отношение масс безразмерно. Предел \(m_1\to\infty\): верхний шарик неподвижен, \(v_0\to\sqrt{2gl}\), как у маятника на неподвижном подвесе. Предел \(m_1\to0\): \(v_0\to\infty\), лёгкий верхний шарик просто уезжает вместе с нижним, и подняться нижнему не на что. Зависимость от отношения масс показана на графике: наши \(m_2/m_1=0{,}5\) дают множитель \(1{,}22\) к \(\sqrt{2gl}=2{,}0\) м/с.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.