Шарики в коробке

Перейдите в систему отсчёта коробки: какова в ней скорость шариков сразу после того, как коробка набрала скорость, и что меняют упругие удары? Сила на стенку — это импульс, передаваемый ударами за секунду.

1) Среднеквадратичная скорость относительно коробки \(v=v_0=10\) м/с (среднее значение модуля скорости — \(\frac{\sqrt\pi}{2}v_0\approx 9\) м/с);  2) \(F=\dfrac{Nmv_0^2}{2L}\approx 0{,}25\) Н на каждую стенку.

Что происходит. Удобно работать в системе отсчёта коробки: после разгона она движется равномерно, значит, инерциальна. В ней стенки неподвижны, а шарики, которые ещё лежали на месте, летят все в одну сторону со скоростью \(v_0\). Дальше удары упругие. О неподвижную стенку шарик отражается с той же по модулю скоростью, при столкновении шариков друг с другом сохраняется их суммарная кинетическая энергия. Значит, суммарная кинетическая энергия шариков в системе коробки остаётся равной начальной, а движение постепенно становится хаотичным — как у молекул газа. Силу на стенку даёт передача импульса при ударах.

Обозначения. \(L=10\) см — сторона коробки; \(v\) — скорость шарика относительно коробки; \(\langle\ \rangle\) — среднее по шарикам. Шарики считаем точками, скользящими без трения по горизонтальному дну: движение плоское, а тяжесть и вращение шариков не учитываем.

Пункт 1. Запишем закон сохранения кинетической энергии шариков в системе коробки: стенки неподвижны и ударов о них модуль скорости не меняют, а при ударах шариков друг о друга сумма энергий не меняется. В начале энергия равна \(N\dfrac{mv_0^2}{2}\), в хаотичном состоянии \(N\dfrac{m\langle v^2\rangle}{2}\). Отсюда \[\langle v^2\rangle=v_0^2,\qquad v_{\text{ср.кв}}=\sqrt{\langle v^2\rangle}=v_0=10\text{ м/с}.\] Относительно коробки шарики теперь летят во все стороны, среднее значение вектора скорости равно нулю. Относительно земли среднее значение вектора скорости — \(\vec v_0\), как у газа в движущемся сосуде. Если нужна именно средняя величина скорости, то для плоского газа с распределением Максвелла \(\langle|v|\rangle=\frac{\sqrt\pi}{2}v_{\text{ср.кв}}\approx0{,}89\,v_0\approx9\) м/с — порядок тот же.

Обратите внимание: сохраняется энергия в системе отсчёта коробки, а не земли. В системе земли стенки движутся и совершают работу при ударах, и энергия шариков там меняется.

Пункт 2. Возьмём стенку, перпендикулярную оси \(x\). Шарик отражается упруго: проекция скорости \(v_x\) меняет знак, значит, шарик получает импульс \(2m|v_x|\), а стенка столько же в обратную сторону. Между двумя ударами об эту стенку шарик пролетает до противоположной стенки и обратно, то есть путь \(2L\) со скоростью \(|v_x|\) по оси \(x\) (удары о боковые стенки \(v_x\) не меняют): время между ударами \(2L/|v_x|\).

Средняя сила одного шарика на стенку — переданный импульс за время между ударами: \[\bar F_1=\frac{2m|v_x|}{2L/|v_x|}=\frac{mv_x^2}{L}.\] Сложим по всем шарикам. При хаотичном движении по плоскости \(\langle v_x^2\rangle=\langle v_y^2\rangle=\dfrac{\langle v^2\rangle}{2}\): \[F=\frac{Nm\langle v_x^2\rangle}{L}=\frac{Nmv_0^2}{2L}=\frac{1000\cdot0{,}5\cdot10^{-6}\text{ кг}\cdot100\text{ м}^2/\text{с}^2}{2\cdot0{,}1\text{ м}}=0{,}25\text{ Н}.\] Такая сила действует на каждую из четырёх стенок; силы на противоположные стенки уравновешивают друг друга, поэтому равномерному движению коробки они не мешают. Это среднее значение: отдельные удары дают короткие толчки, но их очень много.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{м}}=\) Н. Если бы все шарики летали только вдоль оси \(x\) (одномерный газ), \(\langle v_x^2\rangle=v_0^2\) и сила была бы вдвое больше. В плоском газе половина энергии приходится на движение вдоль \(y\), поэтому множитель \(\tfrac12\). Сравнение: вес всех шариков \(Nmg=5\cdot10^{-3}\) Н, он в 50 раз меньше найденной силы, поэтому тяжестью при оценке давления на стенки можно пренебречь.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.