Спуск на планету

Давление в атмосфере растёт с глубиной из-за веса газа. Рассмотрите тонкий слой и свяжите \(dp/p\) со скоростью спуска. Температура известна только внизу — значит, и график нужно читать внизу.

\(v=\dfrac{RT}{\mu g}\,\dfrac{d\ln p}{dt}\approx 14\text{ м/с}\).

Что происходит. Давление газа на высоте \(h\) создаёт вес столба газа над ней, поэтому при спуске оно растёт. В тонком слое температуру можно считать постоянной, и тогда относительное изменение давления \(dp/p\) пропорционально смещению аппарата. Аппарат спускается равномерно, значит, смещение пропорционально времени, и по графику давления можно найти скорость — нужно лишь знать температуру в том месте, где читаем наклон. Температура известна у поверхности, поэтому берём конец графика.

Обозначения. \(\mu=44\cdot10^{-3}\) кг/моль — молярная масса CO\(_2\), \(R=8{,}31\) Дж/(моль\(\cdot\)К), \(S\) — площадь основания выделенного слоя, \(dh\) — его толщина, \(v\) — скорость спуска.

1. Равновесие тонкого слоя газа. Выделим слой толщиной \(dh\) и площадью основания \(S\). Он покоится, поэтому вторым законом Ньютона для слоя в проекции на вертикаль: снизу вверх действует \(pS\), сверху вниз \((p+dp)S\) и вес \(dm\,g\), где \(dm=\rho\,S\,dh\) (здесь \(dp<0\): давление растёт вниз, то есть убывает с высотой \(h\)): \[pS-(p+dp)S-\rho S\,g\,dh=0\quad\Rightarrow\quad dp=-\rho g\,dh .\]

2. Плотность через давление. Уравнение Менделеева — Клапейрона для газа в слое при температуре \(T\): \(pV=\dfrac{m}{\mu}RT\), откуда \(\rho=\dfrac{\mu p}{RT}\). Подставим в п. 1: \[\frac{dp}{p}=-\frac{\mu g}{RT}\,dh .\]

3. Связь со временем. Аппарат опускается с постоянной скоростью \(v\), поэтому за \(dt\) высота уменьшается на \(dh=-v\,dt\): \[\frac{1}{p}\frac{dp}{dt}=\frac{d\ln p}{dt}=\frac{\mu g}{RT}\,v\quad\Rightarrow\quad v=\frac{RT}{\mu g}\,\frac{d\ln p}{dt}.\] Формула справедлива в любой точке спуска, но температура \(T\) известна только у поверхности, то есть в конце графика.

4. Наклон графика у поверхности. Построим \(\ln p\) как функцию времени и проведём касательную в конце спуска. Для оценки берём точки: \(p=36{,}5\) при \(t=3200\) с и \(p=55\) при \(t=3590\) с. Условные единицы сокращаются: нужно отношение давлений. \[\frac{d\ln p}{dt}\approx\frac{\ln(55/36{,}5)}{390\text{ с}}\approx1{,}05\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}.\] Второй отрезок графика, \(41{,}7\to54{,}9\) за 263 с, даёт то же самое: \(1{,}06\cdot10^{-3}\) с\(^{-1}\).

5. Соберём ответ. \[v=\frac{RT}{\mu g}\,\frac{d\ln p}{dt}=\frac{8{,}31\cdot700}{44\cdot10^{-3}\cdot10}\ \text{м}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\ \text{с}^{-1}\approx1{,}3\cdot10^{4}\text{ м}\cdot1{,}05\cdot10^{-3}\text{ с}^{-1}\approx14\text{ м/с}.\] Масштаб высоты \(RT/(\mu g)\approx13\) км: на таком спуске давление растёт в \(e\) раз.

Обратите внимание: формулу \(p=p_0e^{-\mu gh/(RT)}\) для всей атмосферы применять нельзя — температура с высотой меняется, а известна лишь внизу. По графику это видно: \(\ln p(t)\) не прямая, наклон сначала растёт, затем у поверхности убывает. Поэтому скорость находим только по наклону в самом конце, где \(T=700\) К.

Проверка. Размерность: \(\dfrac{\text{Дж/(моль}\cdot\text{К)}\cdot\text{К}}{\text{кг/моль}\cdot\text{м/с}^2}=\dfrac{\text{кг}\cdot\text{м}^2/\text{с}^2}{\text{кг}\cdot\text{м/с}^2}=\) м, умножение на с\(^{-1}\) даёт м/с. Смысл: за секунду аппарат опускается на 14 м, это \(10^{-3}\) масштаба высоты, и давление растёт на \(0{,}1\%\) в секунду — ровно как на графике в конце спуска. Точность ответа порядка \(10\%\) из-за чтения графика и того, что температура немного меняется на последних километрах.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.