Температура атмосферы планеты

Найдем вначале ускорение свободного падения \(g_\text{п}\) на поверхности планеты. С одной стороны, известно, что сила притяжения тела массы \(m\) к планете равна \(mg_\text{п}\), с другой стороны, из закона всемирного тяготения следует, что она равна \(GmM/r^2\), где \(G\) — гравитационная постоянная. Отсюда получаем, что \(g_\text{п} = GM/r^2\). Давление \(p\), создаваемое атмосферным столбом высоты \(h\) на поверхности планеты, будет равно \[p = \rho g_\text{п}h, \tag{1}\] где \(\rho\) — плотность атмосферы. Здесь при определении давления атмосферного столба ускорение свободного падения считаем не зависящим от высоты. Это предположение оправданно, поскольку по условию задачи высота атмосферы намного меньше радиуса планеты \(r\) (\(h \ll r\)).

Написав уравнение Менделеева — Клапейрона для массы \(M\) газа, занимающей объем \(V\), в виде \(pV = (M/\mu)RT\) и учитывая, что \(\rho = M/V\), находим \[\rho = p\mu/(RT).\] Подставляя это выражение для \(\rho\) в (1) и сокращая на \(p\), определяем температуру \(T\) атмосферы на поверхности планеты: \[T = \mu g_\text{п}h/R = \mu GMh/(Rr^2).\]