Чугун в кирпичной трубе

Поскольку нижний конец трубы поддерживается при температуре \(T_1\), большей температуры плавления, чугун внизу будет расплавлен. Температура границы между расплавленным и твердым чугуном, естественно, равна температуре плавления \(T_\text{пл}\).

Так как температуры верхнего и нижнего концов трубы поддерживаются постоянными, количество теплоты, проходящей за единицу времени через поперечное сечение трубы, в любом месте трубы должно быть одним и тем же. Другими словами, поток теплоты через расплавленный и твердый чугун должен быть одним и тем же (кирпичная труба плохо проводит тепло и теплообменом через ее стенки можно пренебречь).

Поток теплоты пропорционален теплопроводности, площади поперечного сечения и разности температур, приходящейся на единицу длины. Пусть \(l_1\) — длина нижней части трубы, где чугун расплавлен, а \(l_2\) — длина верхней части, где чугун находится в твердой фазе. Условие постоянства потока теплоты запишется тогда в виде (сечение трубы постоянно) \[\varkappa_\text{ж}(T_1 - T_\text{пл})/l_1 = \varkappa_\text{тв}(T_\text{пл} - T_2)/l_2,\] где \(\varkappa_\text{ж}\) и \(\varkappa_\text{тв}\) — теплопроводность жидкого и твердого чугуна. Учитывая, что \(\varkappa_\text{ж} = k\varkappa_\text{тв}\), находим \[l_1 = l_2k(T_1 - T_\text{пл})/(T_\text{пл} - T_2).\] Полная длина трубы равна \(l_1 + l_2\). Значит, расплавленным металлом занята часть трубы, определяемая отношением \[\dfrac{l_1}{l_1 + l_2} = \dfrac{k(T_1 - T_\text{пл})}{k(T_1 - T_\text{пл}) + (T_\text{пл} - T_2)}.\]