Поршень на пружинах

Рассмотрим промежуточное положение поршня, когда он сместился на величину \(y\) от своего первоначального положения. Пусть при этом давление газа в правой части сосуда равно \(p_2\), а в левой \(p_1\). Поскольку поршень при этом находится в равновесии, то сумма сил, действующих на поршень, равна нулю: \[(p_2 - p_1)S - 2ky = 0, \tag{1}\] где \(S\) — площадь поршня.

При последующем небольшом перемещении поршня \(\Delta y\) полная работа газа \(\Delta A\) равна \(\Delta A = \Delta A_1 + \Delta A_2\), где \(\Delta A_2\) — работа газа правой части, \(\Delta A_1\) — работа газа левой части, причем \[\Delta A_1 + \Delta A_2 = p_2\,\Delta y\,S - p_1\,\Delta y\,S = (p_2 - p_1)\,\Delta y\,S = 2ky\,\Delta y. \tag{2}\] Таким образом, к моменту смещения поршня на величину \(x = l/2\) полная работа газа будет равна сумме потенциальных энергий, запасенных в пружинах: \[A = 2\cdot\dfrac{k}{2}\left(\dfrac{l}{2}\right)^2. \tag{3}\] Если к газу в правой части подвели количество теплоты \(Q\), а газ в левой части передал количество теплоты \(Q'\) термостату, то полное сообщенное системе количество теплоты будет \(Q - Q'\), и можно написать (1-й закон термодинамики) \[Q - Q' = 2\cdot\dfrac{k}{2}\left(\dfrac{l}{2}\right)^2 + \Delta U, \tag{4}\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа. Поскольку поршень нетеплопроводящий, то температура газа слева не меняется и все изменение внутренней энергии газа \(\Delta U\) обусловлено нагревом газа справа на \(\Delta T\), причем для \(n\) молей идеального газа \(\Delta U = n(3/2)R\,\Delta T\).

Повышение температуры \(\Delta T\) найдем из условия равновесия в конце процесса.

Давление газа \(p\) в правой части сосуда в соответствии с законом Менделеева — Клапейрона равно \(p = nR(T + \Delta T)/[S(l + l/2)]\), с другой стороны, оно должно быть равно сумме давления газа слева \(p' = nRT/[S(l - l/2)]\) и давления, создаваемого пружинами, \(p'' = 2kl/(2S)\), т. е. \[2nR(T + \Delta T)/(3Sl) = 2nRT/(Sl) + kl/S.\] Отсюда находим, что \(\Delta T = 2T + 3kl^2/(2nR)\), и окончательно с помощью (4) получаем \[Q' = Q - 3nRT - (5/2)\,kl^2.\]