Груз на поршне

Так как поршень, когда на него положили груз, переместился на расстояние \(h\), то это означает, что объем газа уменьшился на величину \(hS\) и стал равным \(V - hS\). Давление газа под поршнем равно атмосферному давлению \(p_0\) плюс давление \(Mg/S\), создаваемое грузом, т. е. \(p_0 + Mg/S\). В результате можно записать уравнения Менделеева — Клапейрона для газа до того, как на поршень положили груз, и после этого: \[p_0V = nRT_\text{н}, \tag{1}\] \[(p_0 + Mg/S)(V - hS) = nRT_\text{к}. \tag{2}\] Здесь \(T_\text{н}\) и \(T_\text{к}\) — начальная и конечная температуры газа.

Поскольку по условию задачи газ теплоизолирован, то, как следует из 1-го закона термодинамики, вся совершенная над ним работа \(A\) пойдет на изменение внутренней энергии газа, т. е. \(A = (3/2)nR(T_\text{к} - T_\text{н})\) (внутренняя энергия 1 моля идеального газа \(U = c_VT = (3/2)RT\)). Нетрудно сообразить, что работа равна \(A = Mgh\), значит, \[Mgh = (3/2)\,nR(T_\text{к} - T_\text{н}). \tag{3}\] Вычитая почленно из (2) уравнение (1) и используя для \(T_\text{к} - T_\text{н}\) выражение (3), получим уравнение для определения \(h\): \[MgV/S - Mgh - p_0hS = (2/3)Mgh. \tag{4}\] Отсюда найдем, что \[h = \dfrac{MgV}{S(p_0S + Mg/3)},\] и, подставляя \(h\) в выражение (2), определим конечную температуру газа: \[T_\text{к} = \dfrac{(p_0S + Mg)(3p_0S - 2Mg)V}{(3p_0S + Mg)SnR}.\]