Калориметры со льдом и водой

Если уровень заполнения калориметра после установления теплового равновесия повысился, это означает, что часть воды замерзла (при замерзании объем воды увеличивается). Между тем можно утверждать, что не вся вода замерзла — в противном случае ее объем увеличился бы в \(\rho_\text{в}/\rho_\text{л} \approx 1{,}1\) раза, а уровень заполнения калориметра увеличился бы на \((h/3)(1{,}1 - 1) \approx 2{,}5\) см, тогда как по условию \(\Delta h = 0{,}5\) см. Итак, приходим к выводу, что установившаяся температура в калориметре равна \(0\,^\circ\)C.

Используя это условие, запишем уравнение теплового баланса: \[c_\text{в}m_\text{в}(T_\text{в} - 0\,^\circ\text{C}) = -\lambda\,\Delta m + c_\text{л}m_\text{л}(0\,^\circ\text{C} - T_\text{л}), \tag{1}\] где \(T_\text{л}\) — начальная температура льда, а \(\Delta m\) — масса замерзшей воды. Как уже отмечалось, при замерзании объем увеличивается в \(\rho_\text{в}/\rho_\text{л}\) раз, значит, \[\Delta h\,S = (\rho_\text{в}/\rho_\text{л} - 1)\,\Delta m/\rho_\text{в}, \tag{2}\] здесь \(S\) — площадь поперечного сечения калориметра. Подставляя \(\Delta m\) из (2) в (1) и используя соотношения \(m_\text{в} = (h/3)\rho_\text{в}S\), \(m_\text{л} = (h/3)\rho_\text{л}S\), получаем \[c_\text{в}S\dfrac{h}{3}\rho_\text{в}T_\text{в} = -\lambda S\,\Delta h\dfrac{\rho_\text{л}\rho_\text{в}}{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}} - c_\text{л}\rho_\text{л}ST_\text{л}\dfrac{h}{3}.\] Отсюда \[T_\text{л} = -\dfrac{\lambda}{c_\text{л}}\dfrac{3\,\Delta h}{h}\dfrac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{в} - \rho_\text{л}} - \dfrac{c_\text{в}}{c_\text{л}}\dfrac{\rho_\text{в}}{\rho_\text{л}}T_\text{в} \approx -54\,^\circ\text{C}.\]