Переливания воды между калориметрами

Обозначим исходные температуры горячей и холодной воды в калориметрах через \(t_{\text{г}}\) и \(t_{\text{х}}\) соответственно. Рассчитаем, какая температура \(t_1\) установится в «холодном» калориметре после переливания в него горячей воды массой \(\Delta m\). Из уравнения теплового баланса имеем: \[Cm(t_1 - t_{\text{х}}) = C\Delta m(t_{\text{г}} - t_1).\] Здесь \(m\) — исходная масса воды, находившейся в каждом из калориметров, \(C\) — удельная теплоёмкость воды. Из этого уравнения находим: \[t_1 = \dfrac{mt_{\text{х}} + \Delta mt_{\text{г}}}{m + \Delta m} = \dfrac{kt_{\text{г}} + t_{\text{х}}}{k + 1},\] где введено обозначение \(k = \dfrac{\Delta m}{m} < 1\).

Далее найдём, какая температура \(t_2\) установится в «горячем» калориметре после переливания в него массы воды \(\Delta m\) из «холодного» калориметра. Из уравнения теплового баланса имеем: \[C(m - \Delta m)(t_{\text{г}} - t_2) = C\Delta m(t_2 - t_1).\] Отсюда: \[t_2 = \dfrac{(m - \Delta m)t_{\text{г}} + \Delta mt_1}{m} = kt_1 + (1 - k)t_{\text{г}} = \dfrac{kt_{\text{х}} + t_{\text{г}}}{1 + k}.\] Тогда после одного переливания туда-обратно разность температур в калориметрах составит \[t_2 - t_1 = (t_{\text{г}} - t_{\text{х}})\dfrac{1 - k}{1 + k}.\] Ясно, что для того, чтобы получить разность температур в калориметрах \((t_4 - t_3)\) после второго переливания туда-обратно, нужно в последней формуле заменить \(t_{\text{г}}\) на \(t_2\) и \(t_{\text{х}}\) на \(t_1\): \[t_4 - t_3 = (t_2 - t_1)\dfrac{1 - k}{1 + k} = (t_{\text{г}} - t_{\text{х}})\dfrac{(1 - k)^2}{(1 + k)^2}.\] Таким образом, понятно, что при каждом переливании туда-обратно разность температур изменяется в \(\dfrac{1 - k}{1 + k}\) раз. В нашем случае \(t_{\text{г}} - t_{\text{х}} = 10\,^\circ\)C, \(\Delta m = 50\) г, \(m = 200\) г, откуда \(k = 0{,}25\), и \(\dfrac{1 - k}{1 + k} = 0{,}6\). С учётом этого окончательно имеем: разность температур после первого переливания туда-обратно будет равна \(10\,^\circ\text{C}\cdot0{,}6 = 6\,^\circ\)C, после второго переливания \(10\,^\circ\text{C}\cdot0{,}6^2 = 3{,}6\,^\circ\)C, после третьего переливания \(10\,^\circ\text{C}\cdot0{,}6^3 \approx 2{,}2\,^\circ\)C, после четвёртого \(10\,^\circ\text{C}\cdot0{,}6^4 \approx 1{,}3\,^\circ\)C, после пятого \(10\,^\circ\text{C}\cdot0{,}6^5 \approx 0{,}8\,^\circ\)C. Значит, для того, чтобы разность температур воды в калориметрах стала меньше \(1\,^\circ\)C, достаточно сделать пять переливаний.