Нагретый стакан со льдом

Запишите два уравнения теплового баланса для стенок и льда, разделите одно на другое — останется квадратное уравнение для относительной толщины стенки.

Толщину стенок нужно увеличить примерно в 2 раза (в \(1{,}95\) раза).

9-4. Пренебрегая теплоемкостью дна и тепловыми потерями, запишем уравнение теплового баланса для системы стакан-лед

\[V_1 \rho_1 c_1 t_1 = V_2 \rho \lambda,\tag{1}\]

где \(V_1 = \pi (R^2 - (R - h_1)^2) H\) — объем стенок стакана толщиной \(h_1\), \(R\) и \(H\) — его внешний радиус и высота, \(\rho_1\) и \(c_1\) — плотность и удельная теплоемкость вещества, из которого изготовлены стенки стакана, \(V_2 = \pi (R - h_1)^2 H\) — объем льда, \(\rho\) — его плотность. Во втором случае (таяние льда и нагрев воды до температуры кипения) в стакане со стенками толщиной \(h_2\) уравнение теплового баланса имеет вид

\[\pi (R^2 - (R - h_2)^2) H \rho_1 c_1 (t_1 - t_2) = \pi (R - h_2)^2 H \rho (\lambda + c t_2).\tag{2}\]

Разделим почленно уравнение (1) на (2)

\[\frac{R^2 - (R - h_1)^2}{R^2 - (R - h_2)^2} \cdot \frac{t_1}{t_1 - t_2} = \frac{(R - h_1)^2}{(R - h_2)^2} \cdot \frac{\lambda}{\lambda + c t_2}.\tag{3}\]

Теперь учтем, что \(h_1 = \eta_1 R = 0{,}2 R\) и \(h_2 = \eta_2 R\). Подстановка этих соотношений в выражение (3) приводит к квадратному уравнению относительно неизвестной величины \(\eta_2\)

\[\frac{1 - (1 - \eta_1)^2}{1 - (1 - \eta_2)^2} \cdot \frac{t_1}{t_1 - t_2} = \frac{(1 - \eta_1)^2}{(1 - \eta_2)^2} \cdot \frac{\lambda}{\lambda + c t_2}.\tag{4}\]

Решать это уравнение в общем виде весьма затруднительно, поэтому подставим в (4) все известные численные данные и придем в итоге к уравнению

\[\eta _ { 2 } ^ { 2 } - 2 \eta _ { 2 } + 0 { , } 6 2 8 = 0 \, ,\]

корнями которого являются числа \(\eta _ { 2 } = 1 { , } 6 1 ; 0 { , } 3 9\) . Выбираем второй корень, поскольку первый явно не подходит (обратите внимание, что он дает такую же по модулю разность в скобках в уравнении (4) как и первый корень). Тогда изменение толщины стенок равно

\[\frac { 0 { , } 3 9 } { 0 { , } 2 0 } = 1 { , } 9 5 \approx 2 \, .\]

Увеличить толщину стенок стакана придется примерно в два раза.

Отметим, что мы могли насыпать в стакан колотый лед или рыхлый снег, главное чтобы их плотность в обоих опытах была неизменна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.