Опыты Галилея с желобом

Для равноускоренного движения \(S\propto n^2\): постройте график \(S(n^2)\) — прямая подтверждает закон, а наклон даёт ускорение.

1) график \(S(n^2)\) — прямая; 2) \(A\approx0{,}46\,h\) (м/период\(^2\), \(h\) в метрах), ускорение пропорционально \(h\); 3) \(S\approx2{,}9\) м.

9.5 При равноускоренном движении тела с нулевой начальной скоростью пройденный путь зависит от времени по закону

\[S = \frac { a t ^ { 2 } } { 2 } \, ,\tag{1}\]

где \(a\) - ускорение тела. Иными словами, пройденный путь пропорционален квадрату времени. Постоянный период колебаний маятника в данном случае может служить единицей измерения времени, поэтому можно переписать формулу (1) в виде

\[S = \frac { A n ^ { 2 } } { 2 } \, ,\tag{2}\]

где \(A\) - ускорение тела, измеренное в «метрах на период в квадрате», а \(n\) - число периодов.

Построим графики зависимости пройденного пути от квадрата времени (то есть, \(n^2\)). Как видно, эти зависимости представляют прямые линии, следовательно эксперимент подтверждает формулу (2), то есть движение действительно является равноускоренным.

2. По наклону графиков определим ускорения шаров при каждом значении высоты \(h\):

\[A = 2 \frac{\Delta S}{\Delta n^2}.\tag{3}\]

Получим следующие значения \(h = 20\) см, \(A \approx 0{,}09\) м \(h = 30\) см, \(A \approx 0{,}14\) м \(h = 40\) см, \(A \approx 0{,}18\) м

Можно заметить, что ускорение прямо пропорционально высоте \(h\). Еще лучше построить график зависимости \(A(h)\) и убедится в ее прямой пропорциональности. С помощью графика, либо непосредственно по численным значениям легко определить коэффициент пропорциональности. Окончательно получаем \(A \approx 0{,}46h\), где высота \(h\) измеряется в метрах. Легко показать, что ускорение при движении по наклонной плоскости пропорционально синусу угла наклона, который при постоянной длине желоба пропорционален высоте \(h\). Действительно, кинетическая энергия катящегося шара пропорциональна квадрату скорости \(E_{\text{кин.}} = C v^2\), где \(C\) - постоянный коэффициент, зависящий не только от распределения масс внутри шара, но и от глубины желоба. Пренебрегая работой против сил трения качения, можем приравнять кинетическую энергию в конце желоба к начальной потенциальной энергии

\[C v^2 = mgh.\tag{4}\]

С другой стороны при равноускоренном движении справедлива формула

\[L = \frac { v ^ { 2 } } { 2 a } ,\tag{5}\]

где \(a\) - ускорение шара. Из формул (4)-(5) следует \(a = \frac { m g h } { 2 C L } \propto h\).

3. При высоте \(h = 50 \text{см}\) ускорение примерно равно \(A \approx 0{,}23\). Поэтому путь пройденным шаром за пять колебаний маятника

\[S = \frac { A n ^ { 2 } } { 2 } \approx 2{,}88 \text{м}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.