Средняя скорость автобуса

Средняя скорость — весь путь, делённый на всё время; запишите время на каждой трети пути и выразите искомую скорость, затем исследуйте знаменатель.

а) \(v_3\approx117\) км/ч; б) достичь невозможно: средняя скорость не может превысить \(87{,}5\) км/ч.

9-1. По определению средней скорости

\[v_{\text{ср}} = S / t,\tag{1}\]

где \(S\) - длина всего маршрута, \(t\) - время его прохождения. Обозначим скорость автобуса на последней трети пути через \(v_3\). Тогда

\[t = t_1 + t_2 + t_3 = \frac{S/3}{v_1} + \frac{S/3}{v_2} + \frac{S/3}{v_3}.\tag{2}\]

Подставляя выражение (2) в формулу (1), получаем

\[v_{\text{ср}} = \frac{S}{\frac{S/3}{v_1} + \frac{S/3}{v_2} + \frac{S/3}{v_3}}.\tag{3}\]

Отсюда можно выразить искомую скорость

\[v_3 = \frac{v_{\text{ср}} v_1 v_2}{3 v_1 v_2 - v_{\text{ср}} (v_1 + v_2)}.\tag{4}\]

Подставив в выражение (4) \(v_{\text{ср}}^a = 70 \text{ км/ч}\), получим ответ для первого пункта задачи

\[v_3^a = \frac{70 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 70 \cdot (50 + 70)} \approx 117 (\text{км/ч})\]

Полученное значение для скорости движения автобуса достаточное большое и, конечно же, противоречит правилам дорожного движения, поэтому реальному водителю лучше не гнаться за указанным средним. Подставляя в формулу (4) \(v_{\text{ср}}^b = 90 \text{ км/ч}\), мы обнаруживаем, что

\[v_3^b = \frac{90 \cdot 50 \cdot 70}{3 \cdot 50 \cdot 70 - 90 (50 + 70)} = -1050 \text{ км/ч} < 0.\]

Результат явно противоречит здравому смыслу, так как автобус должен двигаться только вперед. Проанализируем выражение (4). Знаменатель обращается в ноль при

\[v_{\text{ср}}^* = \frac{3 v_1 v_2}{v_1 + v_2} = 87{,}5 \text{ км/ч}\]

При этом \(v_3 \to \infty\), т.е. это предельное значение средней скорости автобуса на всем маршруте, возможное при данных условиях движения. Даже мчась на последнем участке “со скоростью света”, водитель не сможет превысить значение \(v_{\text{ср}}^*\). Таким образом, мы показали, что скорости движения автобуса на первых двух участках маршрута ограничивают максимальное значение его средней

скорости на всем пути. Поскольку \(v_{\text{ср}}^{b} > v_{\text{ср}}^{*}\), то заданное в условии значение средней скорости не может быть достигнуто ни при каких значениях \(v_{3}\). Этот результат полезно знать водителям-лихачам – кратковременные рывки с большой скоростью не помогут достичь высокой средней скорости, если в пути будут хотя бы кратковременные остановки. Лучше двигаться с меньшей скоростью, но без остановок (кстати, при этом не придется обгонять дважды одни и те же машины).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.