В широкий сосуд налит слой жидкости толщиной \(h_2\) и плотностью \(\rho_2\), поверх него — слой другой жидкости, не смешивающейся с первой, толщиной \(h_1\) и плотностью \(\rho_1 < \rho_2\). На поверхность жидкости положили плоскую шайбу толщиной \(h\) и плотностью \(\rho\). Найдите зависимость установившейся глубины погружения \(H\) нижней плоскости шайбы от \(\rho\) и постройте график этой зависимости. Считайте \(h < h_1\), \(h_2\). Силами поверхностного натяжения пренебречь. Шайба всегда сохраняет горизонтальное положение.

При \(0 < \rho < \rho_1\): \(H = \dfrac{\rho}{\rho_1}h\); при \(\rho_1 < \rho < \rho_2\): \(H = h_1 + \dfrac{\rho - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}h\); при \(\rho > \rho_2\): \(H = h_1 + h_2\) (график — рис. 1.240.3).

Шайба в двух жидкостях — МОШ 1997/98, 8 кл., задача 4

Шайба в двух жидкостях
МОШ 1997/98, 8 кл.
5/10
В широкий сосуд налит слой жидкости толщиной \(h_2\) и плотностью \(\rho_2\), поверх него — слой другой жидкости, не смешивающейся с первой, толщиной \(h_1\) и плотностью \(\rho_1 < \rho_2\). На поверхность жидкости положили плоскую шайбу толщиной \(h\) и плотностью \(\rho\). Найдите зависимость установившейся глубины погружения \(H\) нижней плоскости шайбы от \(\rho\) и постройте график этой зависимости. Считайте \(h < h_1\), \(h_2\). Силами поверхностного натяжения пренебречь. Шайба всегда сохраняет горизонтальное положение.
▶Показать разборСкрыть разбор
Ответ
При \(0 < \rho < \rho_1\): \(H = \dfrac{\rho}{\rho_1}h\); при \(\rho_1 < \rho < \rho_2\): \(H = h_1 + \dfrac{\rho - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}h\); при \(\rho > \rho_2\): \(H = h_1 + h_2\) (график — рис. 1.240.3).
Решение
Очевидно, что при \(\rho = 0\) глубина погружения шайбы \(H = 0\). При \(0 < \rho < \rho_1\) шайба будет плавать на поверхности (см. рис. 1.240.1), и условие её плавания запишется в виде: \(\rho_1gHS = \rho ghS\), где \(S\) — площадь горизонтального сечения шайбы. Отсюда \(H = \dfrac{\rho}{\rho_1}h\). При \(\rho\) чуть большем, чем \(\rho_1\), шайба тонет в верхней жидкости, и глубина её погружения \(H\) скачком возрастает до \(h_1\).

При \(\rho_1 < \rho < \rho_2\) шайба погружается во вторую жидкость (см. рис. 1.240.2.), и глубина её погружения (от поверхности верхней жидкости) составляет \(H = h_1 + \Delta h\), где \(\Delta h\) — глубина погружения шайбы во вторую жидкость, которая может быть найдена из условия плавания: \[\rho_1g(h - \Delta h)S + \rho_2g\Delta hS = \rho ghS,\] откуда \(\Delta h = \dfrac{\rho - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}h\), и следовательно, \[H = h_1 + \dfrac{\rho - \rho_1}{\rho_2 - \rho_1}h.\]

Наконец, при \(\rho\) чуть большем, чем \(\rho_2\), шайба тонет в нижней жидкости, и глубина её погружения \(H\) скачком возрастает до \(h_1 + h_2\). Далее с ростом \(\rho\) она будет оставаться постоянной — шайба утонула и лежит на дне.

Зависимость установившейся глубины погружения \(H\) нижней плоскости шайбы от плотности шайбы \(\rho\) приведена на графике (рисунок 1.240.3.)

Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Шайба в двух жидкостях

Шайба в двух жидкостях

Похожие задачи