Сила Архимеда

Батискаф неподвижно висит на тросе в океане. Найти вес батискафа. Масса батискафа 5 тонн, его объем 3 кубометра, плотность воды 1000 кг/м\(^3\), ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\text{ м/с}^2\). Ответ выразите в килоНьютонах и округлите до целых.

Аэростат объемом 1000 м\(^3\) заполнен гелием. Плотность гелия 0,18 кг/м\(^3\), плотность воздуха 1,29 кг/м\(^3\). Масса оболочки аэростата 110 кг. С какой силой натянут трос, удерживающий аэростат у поверхности земли? Ускорение свободного падения примите равным 10 м/с\(^2\). Ответ выразите в Н.

Вес тела в воде в 5 раз меньше, чем в воздухе. Какова плотность материала тела? Считайте плотность воды равной 1000 кг/м\(^3\). Ответ выразите в кг/м\(^3\).

Вес груза в воздухе составляет 17 Н. Когда этот груз опустили в сосуд с водой, имеющий форму куба со стороной 1 дм, он утонул, полностью покрывшись водой, а ее уровень поднялся на 2 см, не достигнув верхнего края сосуда. Определите плотность материала груза.

Воздушный шарик объемом 4,5 дм\(^3\) и массой 1 г, наполненный водородом, пытается улететь. Грузик какой массы нужно к нему подвесить, чтобы шарик повис в воздухе? Плотность воздуха 1,202 кг/м\(^3\), плотность водорода 0,082 кг/м\(^3\). Ответ дайте в граммах, округлив до целых.

Стакан с водой был уравновешен на весах. Когда школьник Владислав погрузил палец в стакан, равновесие весов нарушилось. Чтобы весы вновь оказались уравновешены, Владислав добавил на противоположную чашу весов гирю массой 2 г. Какой объем воды вытеснен пальцем? Ответ выразите в кубических сантиметрах и округлите до целых. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

Стакан с водой был уравновешен на весах. Когда школьник Владислав погрузил палец в стакан, равновесие весов нарушилось. Чтобы весы вновь оказались уравновешены, Владислав добавил на противоположную чашу весов гирю массой 3 г. Какой объем воды вытеснен пальцем? Ответ выразите в кубических сантиметрах и округлите до целых. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

В известном мультфильме про Винни-Пуха есть явное несоответствие: Винни-Пух надувает воздушный шарик обычным воздухом и взлетает на нём. Для того, чтобы воздушный шарик поднимался (а тем более поднимал Винни-Пуха), нужно, чтобы он был наполнен лёгким газом, плотность которого меньше плотности окружающего воздуха. Можно предположить, что Винни-Пух надувает шарик тёплым воздухом, плотность которого, как известно, меньше плотности холодного. Рассчитайте, каким должен быть в этом случае минимальный необходимый для подъёма объём шарика, если плотность тёплого воздуха внутри \(\rho_1 = 1{,}13\) кг/м\(^3\), плотность холодного воздуха снаружи \(\rho_2 = 1{,}29\) кг/м\(^3\), а масса Винни-Пуха \(m = 5\) кг.

На весах подвешены шарики одинакового объема плотностями 3000 кг/м\(^3\) и 4000 кг/м\(^3\). В жидкость с какой плотностью следует поместить более тяжелый шарик, чтобы весы были в равновесии? Ответ дайте в кг/м\(^3\).

Каков вес изделия в вакууме, если в воде оно весит 200 Н, а в керосине 210 Н? Плотность воды 1000 кг/м\(^3\), плотность керосина 800 кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения принять равным 10 м/с\(^2\). Ответ дайте в Ньютонах.

Кусок металла весит в воздухе 39 Н, в воде (плотность 1000 кг/м\(^3\)) 34 Н, а в другой жидкости 35 Н. Вычислите плотность этой жидкости. Ответ выразите в кг/м\(^3\).

Тело, подвешенное к динамометру, полностью погрузили в сосуд с водой, площадь поперечного сечения которого 150 см\(^2\). Динамометр показал 9 Н, а давление на дно сосуда увеличилось на 400 Па. Найдите среднюю плотность тела. Ускорение свободного падения равно 10 Н/кг, плотность воды 1000 кг/м\(^3\). Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до целого числа.

Гирю в форме цилиндра, подвешенную на пружине жёсткостью 100 Н/м, очень медленно опускают в аквариум, площадь дна которого равна 200 см\(^2\), до тех пор, пока уровень воды в аквариуме не повысится на 1 см. На сколько при этом изменяется длина пружины? Определите абсолютную величину изменения. Ответ дайте в см, округлите до целого. Основания гири в процессе опускания остаются параллельными дну сосуда. Ускорение свободного падения и плотность воды равны соответственно 10 м/с\(^2\) и 1000 кг/м\(^3\).

Какую часть металлических опилок нужно досыпать в мешок, чтобы в воде он весил столько же, сколько весил в масле? Плотность воды 1000 кг/м\(^3\), плотность масла 900 кг/м\(^3\), плотность опилок 2900 кг/м\(^3\). Считайте, что объем мешка с опилками равен объему опилок. Ответ дайте в процентах, округлив до целых.

Два шарика равных объемов, сделанные из материалов с плотностями 2 г/см\(^3\) и 3 г/см\(^3\), соединены тонким невесомым стержнем длиной 15 м. Затем вся система помещена в жидкость плотностью 1 г/см\(^3\). На каком расстоянии от шарика плотностью 2 г/см\(^3\) надо подвесить стержень, чтобы он находился в равновесии в горизонтальном положении? Ответ выразите в метрах.

В газе плотностью 1 кг/м\(^3\) находятся два воздушных шарика: один средней плотностью 0,5 кг/м\(^3\) и объемом 1 дм\(^3\), а другой, неизвестного объема, — средней плотностью 0,75 кг/м\(^3\). Система из рычага с равными плечами и этими шариками, подвешенными за концы рычага, находится в равновесии. Найдите объем второго шарика. Ответ представьте в дм\(^3\) и округлите до целых.

В газе плотностью \(1\) кг/м\(^3\) находятся два воздушных шарика: один средней плотностью \(0{,}5\) кг/м\(^3\) и объемом \(1\) дм\(^3\), а другой, неизвестного объема, — средней плотностью \(0{,}75\) кг/м\(^3\). Система из рычага с равными плечами и этими шариками, подвешенными за концы рычага, находится в равновесии. Найдите объем второго шарика. Ответ представьте в дм\(^3\) и округлите до целых.

Цилиндр, высота которого равна 10 см, а сечение 4 см\(^2\), висит на пружине жёсткостью 20 Н/м и наполовину погружен в воду. Уровень воды начинают медленно повышать до полного погружения цилиндра в жидкость. Плотность воды 1 г/см\(^3\).

1. На сколько уменьшится сила упругости пружины? Ответ выразите в Н, округлите до десятых.

2. На какую высоту необходимо поднять уровень воды? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

Два одинаковых сообщающихся сосуда, площадь поперечного сечения каждого из которых равна 100 см\(^2\), частично заполнены водой. В один сосуд помещают деревянный кубик, а во второй – брусок, сделанный из того же материала. Ребро кубика равно 8 см. Брусок представляет собой прямоугольный параллелепипед со сторонами, равными 8 см, 8 см и 24 см. Кубик и брусок не касаются дна сосудов, вода из сосудов не выливается. Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), плотность дерева – 800 кг/м\(^3\).

1. Найдите разность высот, на которых окажутся верхние грани кубика и бруска. Брусок находится в вертикальном положении. Ответ выразите в см, округлите до десятых.

2. На сколько изменится уровень воды в сосудах? Ответ выразите в см, округлите до десятых.

Через неподвижный блок перекинута легкая нерастяжимая нить, на концах которой висят два стальных цилиндрических бруска. Масса левого бруска \(m_1 = 1\) кг. Вначале к нижнему основанию правого бруска был приморожен кусок льда неизвестной массы, а сами бруски удерживались вручную. Правый брусок с примороженным к нему куском льда погрузили в воду комнатной температуры, налитую в очень широкий сосуд, после чего бруски отпустили. Сразу после этого оказалось, что система находится в равновесии, когда правый брусок погружен в воду на половину своей высоты. После того, как весь примороженный лед растаял, правый брусок целиком погрузился в воду. При этом система снова оказалась в равновесии. Найдите массу правого бруска, а также массу примороженного к нему льда. Плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность льда \(\rho_{\text{л}} = 900\) кг/м\(^3\), плотность стали \(\rho_{\text{с}} = 7800\) кг/м\(^3\). Изменением уровня воды в сосуде пренебречь.

Школьница Алиса подвешивала к пружине гири известной массы и изучала зависимость удлинения пружины \(от массы\) подвешенных к ней гирь. Свои результаты Алиса представила на графике (см. рисунок). Затем Алиса провела опыт с грузом неизвестной массы и плотности. Погрузив груз в сосуд с водой, Алиса увидела, что прикрепленная к грузу пружина растянулась на 3 см, при этом груз не соприкасался с поверхностью воды или дном сосуда. Этот же груз, находящийся в воздухе, растягивал пружину на 4 см. Определите массу груза в граммах и объем груза в миллилитрах. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

Школьник Вася решил взвесить с помощью железных гирь найденный им недалеко от озера Чебаркуль небольшой кусок челябинского метеорита, используя симметричные равноплечие весы, сделанные из железа. В воздухе взвешивание дало результат \(M = 2{,}1\) кг. Когда весы были полностью погружены в воду озера, результат был другим — для уравновешивания весов потребовалось положить на них гири, суммарная масса которых оказалась равной \(m = 1{,}8\) кг. При этом и взвешиваемое вещество, и гири также были полностью погружены в воду. Чему равна плотность материала метеорита? Плотность железа равна \(\rho_\text{ж} = 7{,}9\text{ г/см}^3\), плотность воды \(\rho_\text{в} = 1{,}0\text{ г/см}^3\).

Школьница Василиса проводит опыты с пружиной. Сначала Василиса обнаружила, что длина пружины в нерастянутом состоянии составляет 10 см, а груз массой \(m\) г, подвешенный к пружине, дополнительно растягивает ее на \(0{,}01m\) см. Затем Василиса подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объема воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объема \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружен в воду? был полностью погружен в воду?

Школьница Василиса проводит опыты с пружиной. Сначала Василиса обнаружила, что длина пружины в нерастянутом состоянии составляет 10 см, а груз массой \(m\) г, подвешенный к пружине, дополнительно растягивает её на \(0{,}01m\) см. Затем Василиса подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

Школьница Алиса проводит опыты с пружиной. Она подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Жёсткость пружины 100 Н/м, её длина в нерастянутом состоянии составляет 10 см. Ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\). Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

Школьница Алиса проводит опыты с пружиной. Она подвесила пружину с грузом над сосудом в форме прямоугольного параллелепипеда, как показано на рисунке, и стала наливать в сосуд воду. Груз имеет форму куба длиной ребра 10 см, его плотность равна плотности воды. В начале опыта расстояние от нижней грани груза до дна сосуда составляет 30 см. Площадь основания сосуда составляет 1000 см\(^2\). Нижняя грань куба во время опыта сохраняла горизонтальное положение. Жёсткость пружины 100 Н/м, её длина в нерастянутом состоянии составляет 10 см. Ускорение свободного падения 10 м/с\(^2\). Постройте график зависимости длины пружины \(l\) от объёма воды \(V\), налитой в сосуд. При каких значениях объёма \(V\) груз находился в воздухе? был частично погружён в воду? был полностью погружён в воду?

На крючке динамометра висит ведро с водой. Динамометр показывает 95 Н. В воду полностью погрузили кирпич массой 2,5 кг с размерами \(5 \times 10 \times 20\) см, удерживая его на веревочке. Кирпич стенок и дна ведра не касается. Теперь динамометр показывает 100 Н. Сколько воды вылилось из ведра в процессе эксперимента? Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\) м/с\(^2\).

Кубик внутри пустого стакана покоится на сжатой пружине, величина деформации которой равна 1 см. В стакан наливают воду до тех пор, пока длина пружины не перестает изменяться. Найдите плотность кубика, если деформация пружины в конечном состоянии равна 2 см. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\).

Два тела покоятся на невесомом стержне, как показано на рисунке. После того, как тела полностью погрузили в воду, для сохранения равновесия стержня их пришлось поменять местами. Найти плотности тел \(\rho_1\) и \(\rho_2\), если \(\rho_2/\rho_1 = 2\). Плотность воды равна 1 г/см\(^3\).

Два шарика равной массы сделаны из одного и того же металла. Один из них сплошной, а другой имеет полость. Если в наполненный до краёв сосуд с водой осторожно положить плавать шарик с полостью, то через край сосуда выльется 20 см\(^3\) воды, если же в сосуд погрузить сплошной шарик, то из сосуда вытечет 5 см\(^3\) воды. Плотность воды равна 1 г/см\(^3\). Ускорение свободного падения считать равным 10 Н/кг.

1. Чему равна сила Архимеда, действующая на полый шарик? Ответ выразите в мН, округлите до целого числа.

2. Найдите плотность металла, из которого сделаны шарики. Ответ выразите в г/см\(^3\), округлите до целого числа.

Система, состоящая из тела объемом \(V=125\) см\(^3\), невесомой пружины жесткостью \(k=100\) Н/м и стержня с поперечным сечением \(S=10\) см\(^2\), частично погруженного в жидкость плотностью \(\rho=700\) кг/м\(^3\), уравновешена с помощью нити, перекинутой через блок (см. рисунок). Трение в оси блока отсутствует. Подвешенное к пружине тело полностью погружают в жидкость плотностью \(2\rho=1400\) кг/м\(^3\), и после этого система вновь оказывается в равновесии.

1. На сколько после установления нового равновесия системы изменится деформация пружины? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

2. На сколько при этом изменится глубина погружения стержня в жидкость? Ответ выразите в см, округлите до целого числа.

В первом опыте на дно закреплённого неподвижно бака поместили цилиндр из пенопласта и соединили его тонким стержнем с пружиной жёсткостью \(k = 75\) Н/м (рис. слева). Стержень проходит через узкое отверстие в дне бака. Трения между ним и баком нет. Высота цилиндра \(h = 20\) см, а его диаметр \(d = 6\) см. В начальный момент пружина не деформирована.

В бак налили воду до уровня \(H = 30\) см (вода не показана на рисунке). В узкое отверстие вода не просачивается.

1. На какой высоте над дном бака окажется верхний конец цилиндра? Цилиндр можно считать невесомым. Плотность воды \(\rho = 1000\) кг/м\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\). Ответ выразите в сантиметрах и округлите до десятых.

2. Во втором опыте взяли бак с отверстием диаметром \(d\) и поместили в отверстие более высокий цилиндр (рис. справа). Снова налили воду до уровня \(H = 30\) см. На какой высоте окажется верхний конец цилиндра в этом случае? Трение между стенками отверстия и цилиндром отсутствует, но вода в эту щель не протекает. Ответ выразите в сантиметрах и округлите до десятых.

В океанах на большой глубине около срединно-океанических хребтов могут встречаться такие источники тепла, как чёрные курильщики. Они извергают геотермальную воду высокой температуры. После одного из таких выбросов в толще океана появился слой теплой воды, температура \(t\) в котором изменялась с глубиной \(h\) так, как показано на рисунке (представлен на отдельном листе).

Продукты выброса чёрных курильщиков также часто содержат различные газы, которые формируют пузырьки.

1. Найдите все возможные значения глубины, на которых пузырёк в воде будет находиться в равновесии.

2. Определите, являются ли найденные положения равновесия устойчивыми.

Считайте, что:

• течение в воде отсутствует, и она находится в состоянии покоя;

• пузырёк всегда имеет форму шара, и давление внутри него равно внешнему давлению воды;

• газ внутри пузырька можно считать идеальным;

• температура внутри пузырька равна температуре окружающей воды;

• газ не растворяется в воде.

Молярная масса газа \(\mu = 222\text{ г/моль}\), плотность воды постоянна и равна \(\rho_\text{в} = 1020\text{ кг/м}^3\), универсальная газовая постоянная \(R = 8{,}3\text{ Дж/(моль}\cdot\text{К)}\), ускорение свободного падения \(g = 10\text{ м/с}^2\), атмосферное давление \(p_0 = 10^5\text{ Па}\).

Примечание. При сдаче работы лист с рисунком вложите в свое решение.

Определите давление жидкости на нижнюю поверхность плавающей шайбы сечения \(S\) и массы \(m\), если атмосферное давление равно \(P_0\).

На границе раздела двух жидкостей плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\) плавает шайба плотности \(\rho\) \((\rho_1<\rho<\rho_2)\). Высота шайбы \(H\). Определите глубину её погружения во вторую жидкость.

Тонкостенный стакан массы \(m\) вертикально плавает на границе раздела жидкостей плотности \(\rho_1\) и \(\rho_2\). Определите глубину погружения стакана в нижнюю жидкость, если дно стакана имеет толщину \(h\) и площадь \(S\), а сам стакан заполнен жидкостью плотности \(\rho_1\).

В жидкости плотности \(\rho_0\) плавает прямоугольный параллелепипед из материала плотности \(\rho\). Высота параллелепипеда \(b\), ширина и длина \(a\). При каком соотношении \(a\) и \(b\) его положение устойчиво?

Деревянный куб с ребром 0,5 м плавает в озере, на две трети своего объёма погружённый в воду. Какую минимальную работу нужно совершить, чтобы полностью погрузить куб в воду?

Кусок железа весит в воде 9,8 Н. Определите его объём. Плотность железа \(7{,}8\cdot10^3\) кг/м³.

Тело в воде весит в три раза меньше, чем в воздухе. Чему равна плотность тела?

К коромыслу весов подвешены два груза равной массы. Если один из грузов поместить в жидкость плотности \(\rho_1\), а другой — в жидкость плотности \(\rho_2\), то равновесие сохраняется. Найдите отношение плотностей грузов.

В сообщающиеся сосуды диаметра \(d_1\) и \(d_2\) налита жидкость плотности \(\rho\). На сколько поднимется уровень жидкости в сосудах, если в один из сосудов положить тело массы \(m\) из материала, плотность которого меньше \(\rho\)?

Определите силу натяжения нижней лески у поплавка, изображённого на рисунке, если поплавок погружён в воду на две трети своей длины. Масса поплавка 2 г.

С какой силой давит тяжёлая палочка на дно водоёма, если жёстко связанный с палочкой пустотелый шарик радиуса \(r\) погрузился в жидкость наполовину? Плотность жидкости \(\rho\), длина палочки \(l\).

Определите силу натяжения нити, связывающей два шарика объёма 10 см³ каждый, если верхний шарик плавает, наполовину погрузившись в воду. Нижний шарик в три раза тяжелее верхнего.

Два одинаковых бревна расположены в воде так, как показано на рисунке. Нижнее бревно привязано к вертикальной стенке тросами, составляющими с ней угол 45°. Верхнее бревно наполовину погружено в воду. Определите плотность древесины.

Определите силу давления брёвен массы \(m\) на стенки канала. Верхнее бревно погружено в воду наполовину, а нижнее касается верхним участком поверхности воды. Брёвна одинаковы.

Как зависит сила, прижимающая друг к другу два одинаковых полуцилиндра плавающего батискафа, от глубины его погружения \(H\), если он плавает на поверхности жидкости так, как это показано на рисунках а и б? Радиус батискафа \(R\), длина \(L\), плотность жидкости \(\rho\).

Докажите, что сила, с которой прижимаются половины плавающего батискафа друг к другу, не зависит от наклона плоскости соприкосновения полусфер батискафа, если он полностью погружён в воду.

Коническая пробка высоты 10 см с углом при вершине 90° перекрывает в сосуде отверстие радиуса 5 см. Чему должна быть равна масса этой пробки, чтобы она не всплывала при изменении уровня воды в сосуде?

Решите задачу 4.2.17 при условии, что отверстие радиуса \(r\) перекрывается шаром радиуса \(R\), а плотность жидкости равна \(\rho\).

Наклон кубической коробки, наполовину погружённой в жидкость, равен \(\alpha\). Определите массу каждого из двух противоположных рёбер коробки. Массой остальных частей коробки пренебречь. Плотность жидкости \(\rho\), длина рёбер коробки \(a\).

Определите минимальную силу натяжения двух канатов, связывающих широкий плот, состоящий из двух слоёв брёвен. Масса каждого бревна \(m\). Верхний слой брёвен погружён в воду наполовину.

а. В водоёме с глубины 1 м всплывает деревянный цилиндр радиуса 1 м и высоты 0,2 м. Плотность древесины \(0{,}8\cdot10^3\) кг/м³. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения воды и цилиндра?

б. В цилиндр радиуса \(R\), частично заполненный жидкостью, падает цилиндрическая пробка радиуса \(r\) и высоты \(h\). Начальная высота нижней поверхности пробки над уровнем жидкости \(H\), начальная скорость равна нулю. Какое количество теплоты выделится к моменту окончания движения жидкости и пробки? Плотность пробки \(\rho\), плотность жидкости \(\rho_0>\rho\).

Какое количество теплоты выделится в водоёме при всплывании в нём воздушного пузыря радиуса \(R=0{,}1\) м с глубины \(H=10\) м?

Какую минимальную работу нужно произвести, чтобы поднять со дна моря на борт судна батисферу радиуса 2 м и массы 35 т? Глубина моря 100 м, высота борта судна 3 м, плотность морской воды \(1{,}02\cdot10^3\) кг/м³.

Цилиндрический космический корабль радиуса \(R\) вращается вокруг своей оси с угловой скоростью \(\omega\). Бассейн в корабле имеет глубину \(H\), а дном бассейна служит боковая стенка корабля.

а. Сможет ли космонавт плавать в этом бассейне? Опишите особенность космического бассейна. Определите плотность плавающей в бассейне палочки длины \(l<H\), если из воды выступает её верхняя часть длины \(\Delta\).

б. В бассейне можно наблюдать следующее интересное явление: два шара разной плотности, связанные нитью, в зависимости от «глубины» движутся или к свободной поверхности, или к стенке космического корабля, если плотность одного шара больше, а другого меньше плотности воды. Объясните это явление.

Цилиндрический сосуд радиуса \(R\), заполненный жидкостью плотности \(\rho\), вращается с угловой скоростью \(\omega\) вокруг своей оси. В сосуде находится шарик радиуса \(r\) и плотности \(2\rho\). Найдите силу, с которой шарик давит на боковую стенку сосуда.

Вертикальный цилиндрический сосуд радиуса \(R\), частично заполненный жидкостью, вращается вместе с жидкостью вокруг своей оси. К боковой стенке сосуда на нити длины \(l\) привязан воздушный шарик радиуса \(r\); во время вращения нить образует со стенкой угол \(\alpha\). Определите угловую скорость вращения сосуда.

Молекула жидкости состоит из двух слабо связанных между собой групп атомов. Объём этих групп одинаков, их массы равны \(m_1\) и \(m_2\). При вращении жидкости в центрифуге радиуса \(R\) с угловой скоростью, большей \(\omega\), молекулы начинают распадаться. Оцените силу связи групп атомов в молекуле.

В находящуюся в широком сосуде жидкость частично погружены одинаковые кубики со стороной \(a\) и массой \(M\), которые удерживаются в равновесии при помощи системы, состоящей из невесомых блоков, соединенных очень легкой и нерастяжимой нитью (см. рис.). Трение в осях блоков отсутствует, плотность жидкости равна плотности кубиков. Изначально правый кубик погружен в жидкость ровно наполовину. 1) На какую величину изменится глубина погружения правого кубика, если на левый кубик поместить небольшой перегрузок массой \(m = M/16\)? 2) На сколько в результате этого изменятся модуль силы натяжения нити и модуль силы давления жидкости на дно? 3) При каких значениях массы перегрузка оба кубика останутся частично погруженными в жидкость? Явлениями, связанными со смачиванием поверхностей кубиков жидкостями, можно пренебречь.

В широком поддоне с вертикальными стенками, который частично заполнен водой, стоит доверху наполненный водой стакан. Два цилиндрических груза удерживаются в равновесии с помощью системы блоков и нитей, как показано на рисунке. На правом грузе стоит маленький перегрузок массой \(\Delta m\). При этом левый груз касается поверхности воды своей нижней гранью, а правый груз "— верхней. Площадь горизонтального поперечного сечения левого груза равна \(S\), а правого "— \(2S\). С правого груза очень медленно снимают перегрузок, после чего левый груз оказывается частично погруженным в воду.

1. На сколько изменится высота уровня воды в поддоне?

2. Какая масса воды перельётся из стакана в поддон?

3. Какой вид имеет зависимость глубины погружения в воду левого груза от массы перегрузка?

Однородный клин уравновешен в сосуде с водой, так как это показано на рисунке. Клин опирается вершиной на стенку сосуда (вершина клина закреплена «шарнирно»). Верхняя его грань параллельна уровню воды и погружен клин в воду на половину своей высоты (половину вертикального катета). Определите плотность материала клина. Плотность воды 1 г/см\(^3\). Ответ выразите в кг/м\(^3\), округлите до целого числа.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = \dfrac{V_\text{п}}{V}\), где \(V_\text{п}\) "— объём пор, \(V\) "— объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (3 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.

В кусок пористого льда вморожен деревянный шарик. Объём льда (с учётом пор, заполненных воздухом) равен объёму шарика. К шарику присоединена тонкая, невесомая нитка. Лёд с шариком погружают в цилиндрический сосуд с водой, нитку закрепляют на дне сосуда, так что лёд оказывается погружён в воду полностью. Можно считать, что поры льда остаются заполненными воздухом. Уровень воды в сосуде после погружения куска льда с шариком возрастает на \(h_0 = 12\) см. После таяния льда деревянный шарик остаётся полностью погружён в воду, а уровень воды в сосуде понижается на \(\Delta h = 3\) см. Считайте, что ускорение свободного падения равно 10 м/c\(^2\).

1. (5 баллов) Определите отношение \(n = V_{\text{п}}/V\), где \(V_{\text{п}}\) — объём пор, \(V\) — объём пористого льда (суммарный объём льда и пор). Плотности дерева, льда и воды равны соответственно 500 кг/м\(^3\), 900 кг/м\(^3\) и 1000 кг/м\(^3\). В ответе на вопрос укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.

2. (2 балла) Если масса деревянного шарика равна 100 г, то чему равна сила натяжения нити до начала таяния льда? Ответ дайте в ньютонах, округлите до целого.

Плоская шайба плавает на поверхности раздела воды и бензина, погрузившись в воду на 10% своего объема \(V\). Определите плотность материала шайбы. Плотность бензина \(\rho_1 = 600\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_2 = 1000\) кг/м\(^3\). Ответ выразите в кг/м\(^3\).

Из тонкой оболочки поверхностной плотностью \(\sigma = 50\) г/м\(^2\) изготовили воздушный шар. При каких значениях радиуса \(R\) он сможет подняться в воздух плотностью \(\rho_\text{в} = 1{,}3\) кг/м\(^3\)? Считайте, что шар наполняется гелием, плотность которого \(\rho_\text{г} = 0{,}18\) кг/м\(^3\). Объем шара радиусом \(R\) составляет \(V = \dfrac{4}{3}\pi R^3\), а площадь его поверхности равна \(S = 4\pi R^2\).

К правому концу \(A\) стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик. Стержень положили на край сосуда с водой (как показано на рисунке), а к точке \(B\), находящейся на расстоянии \(l_1 = 50\) см слева от точки опоры \(O\), подвесили груз такой массой \(m\), что шарик оказался погруженным в воду на половину своего объёма. На какую часть своего объёма окажется погруженным в воду этот шарик, если груз \(m\) перевесить из точки \(B\) в точку \(C\), находящуюся на расстоянии \(l_2 = 60\) см слева от точки \(O\)? Плотность алюминия \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\), плотность воды \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\).

В бочку объёмом 90 л, которая была на две трети объёма заполнена медом, залез Винни-Пух. При этом уровень мёда поднялся до краев и 9 кг меда вытекли наружу. Из бочки осталась торчать только голова Винни-Пуха, объем которой равен одной десятой объёма медведя. Определите массу Винни-Пуха, если его средняя плотность 1000 кг/м\(^3\). Плотность мёда 1500 кг/м\(^3\).

На плоту хотели перевезти по реке товар весом 900 кг. Когда товар загрузили на плот, плот начал тонуть. Под плот быстро поместили большую воздушную подушку и накачали её, после чего плот перестал тонуть, но оказался полностью погруженным в воду, а товар при этом остался сухим. Каков был объём накачанной подушки? Объём находящейся в воде части плота равен 4 м\(^3\), его плотность 0,8 кг/дм\(^3\). Плотность воды 1 кг/дм\(^3\). Ответ выразите в дм\(^3\), округлите до целого числа.

На дно сосуда, доверху заполненного водой, аккуратно помещают железный кубик. В результате средняя плотность содержимого сосуда увеличивается на 400 кг/м\(^3\). Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\), плотность железа — 7800 кг/м\(^3\). До погружения кубика в сосуде находилась только вода. Во сколько раз объём сосуда больше, чем объём кубика? Ответ округлите до целого числа.

В вертикальный цилиндрический стакан высотой \(H = 10\) см и площадью дна \(S = 100\) см\(^2\) налита вода до уровня \(h = 8\) см. В стакан опустили, не разбрызгивая воду, \(N_1 = 100\) стальных шариков объемом \(V_1 = 1\) см\(^3\) каждый, а затем еще \(N_2 = 50\) ледяных кубиков объемом \(V_2 = 2{,}5\) см\(^3\). Какова оказалась после этого сила \(F\) давления на дно стакана? Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\), стали \(\rho_1 = 7{,}8\) г/см\(^3\), льда \(\rho_2 = 0{,}9\) г/см\(^3\), ускорение свободного падения \(g = 10\) м/с\(^2\), трением и атмосферным давлением пренебречь.

В Интернете сейчас можно найти видеозаписи различных физических опытов, в частности, такого: группа студентов напускает в большое корыто до краев какой-то тяжелый газ из баллона, а потом кладет на поверхность этого газа в корыте модель корабля, согнутую из алюминиевой фольги, и этот «корабль» плавает! Потом студенты зачерпывают ковшиком газ из корыта, переливают его внутрь «корабля», и он тонет. Найдите, какой минимальной плотностью должен обладать этот тяжелый газ, чтобы в нем мог плавать «корабль» в форме прямоугольного параллелепипеда (с открытым верхом), согнутый из бытовой алюминиевой фольги толщиной 25 мкм. Размеры «корабля»: длина "— 50 см, ширина "— 20 см, высота бортов "— 10 см. Считать, что лишние куски, образовавшиеся при сгибании параллелепипеда из листа фольги, удалены. Плотность алюминия 2,7 г/см\(^3\), плотность воздуха 1,3 кг/м\(^3\).

На дне сосуда лежит кубический брусок со стороной 1 дм. Сосуд заполнен водой до уровня 3 дм. Чему равна сила давления воды на брусок, если нижняя поверхность бруска плотно соприкасается со дном сосуда? Плотность воды 1000 кг/м\(^3\). Ускорение свободного падения считайте равным 10 м/с\(^2\). Ответ представьте в ньютонах и округлите до целых.

На пружине жесткостью \(10\) Н/м висит грузик массой \(100\) г. После того как пружину с грузиком опустили в воду, длинна пружины изменилась на \(4\) см. Определите плотность материала, из которого сделан грузик. Плотность воды \(1{,}0\) г/см\(^3\). Ответ выразите в г/см\(^3\) и округлите до десятых.

В цилиндрическом стакане, наполненном водой (плотность воды 1,00 г/см\(^3\)), плавает кусочек пробки массой 12 г (плотность пробки 0,24 г/см\(^3\)). Площадь поперечного сечения стакана 30 см\(^2\).

Вопрос A (1 балл). Найдите объем пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых.

Вопрос B (2 балла). Найдите объем подводной части пробки. Ответ представьте в кубических сантиметрах и округлите до целых.

Вопрос C (3 балла). Груз какой максимальной массы можно положить на пробку, чтобы пробка еще могла оставаться на плаву? Ответ выразите в граммах и округлите до целых.

Вопрос D (4 балла). На пробку сверху положили гайку массой 18 г. Пробка осталась на плаву, причем гайка не коснулась воды. На сколько миллиметров поднялся уровень воды в стакане? Ответ округлите до десятых.

В сосуде площадью поперечного сечения 2 дм\(^2\) плавает шайба площадью 1,6 дм\(^2\) и высотой 5 см. Шайба выступает из воды на 0,5 см, а расстояние между нижней гранью шайбы и дном сосуда составляет 10 см. Когда в сосуд дополнительно налили масло, верхняя грань шайбы оказалась в точности на уровне масла, а толщина слоя масла составила 3,5 см. Плотность воды 1000 кг/м\(^3\).

1. (2 балла) Найдите объем воды в сосуде. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

2. (2 балла) Найдите массу шайбы. Ответ представьте в граммах и округлите до второй значащей цифры.

3. (3 балла) Найдите расстояние от нижней грани шайбы до дна сосуда после доливания масла. Ответ представьте в сантиметрах и округлите до третьей значащей цифры.

4. (1 балл) Найдите объем масла, долитого в сосуд. Ответ представьте в литрах и округлите до второй значащей цифры.

5. (2 балла) Найдите отношение плотности масла к плотности воды. Ответ округлите до второй значащей цифры.

На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При этом точка опоры делит рычаг в отношении 1 к 3, а цилиндры погружены в жидкость (левый — на треть, а правый — на две трети объема). Плотность левого цилиндра \(\rho_1 = 4{,}0\) г/см\(^3\), а правого \(\rho_2 = 2{,}2\) г/см\(^3\). Определите плотность жидкости \(\rho\).

На легком рычаге уравновешены два цилиндра, имеющие одинаковые размеры. При этом точка опоры делит рычаг в отношении 2 к 3, а цилиндры погружены в жидкость (левый — на две трети, а правый — на треть объема). Плотность левого цилиндра \(\rho_1 = 4{,}0\) г/см\(^3\), а правого \(\rho_2 = 2{,}5\) г/см\(^3\). Определите плотность жидкости \(\rho\).

Ареометр — прибор для измерения плотности жидкостей, принцип работы которого основан на законе Архимеда. Обычно он представляет собой трубку, в нижней части которой помещён груз (см. рис. 2). Верхняя часть ареометра — цилиндр, на который нанесена шкала, проградуированная в значениях плотности. Считается, что ареометр изобрела Гипатия Александрийская — знаменитая женщина-учёный древности. Рассмотрим конструкцию самодельного ареометра для измерения плотности молока (лактометра). Плотность молока варьируется в пределах от минимального значения \(\rho_1 = 1015\) кг/м\(^3\) до максимального \(\rho_2 = 1040\) кг/м\(^3\). Разность максимального и минимального значения много меньше среднего значения, благодаря чему шкала такого лактометра линейна. Для изготовления лактометра взяли твёрдую цилиндрическую пластиковую трубку с внешним диаметром \(d = 16\) мм, внутрь которой снизу поместили груз и закрыли нижний конец заглушкой. Снаружи вся конструкция выглядит как цилиндр, а её общая масса равна \(m = 40\) г. На расстоянии \(h_0 = 20\) см от нижнего конца трубки нанесли первое деление, которое соответствовало некоторой плотности \(\rho_0\), немного меньшей \(\rho_1\). Вниз от первого деления стали наносить другие деления, расстояние между которыми было равно \(\Delta h = 1\) мм.

1. Чему равна цена деления \(\Delta\rho\) такого прибора?

2. Чему равна плотность \(\rho_0\), соответствующая первому делению?

3. Какое минимальное число \(N\) делений нужно нанести, чтобы измерять плотность молока во всём диапазоне значений от \(\rho_0\) до \(\rho_2\)?

Деревянная палочка \(AB\) длиной \(l = 1\) м и массой \(M = 0{,}25\) кг подвешена в точке \(O\), которая находится на одной трети длины палочки от точки \(A\) (см. рис.). К правому концу палочки в точке \(B\) подвешен медный брусок массой \(m_1 = 1\) кг, причем палочка на одну треть своей длины, считая от точки \(B\), погружена в сосуд с водой. К левому концу палочки в точке \(A\) подвешен другой груз массой \(m_2\). Чему равна масса этого второго груза, если система находится в равновесии? Плотность воды \(\rho_\text{в} = 1000\) кг/м\(^3\), плотность меди \(\rho_\text{м} = 8900\) кг/м\(^3\), плотность дерева \(\rho_\text{дер} = 400\) кг/м\(^3\).

Один конец однородной палочки массой \(m = 300\) г и плотностью \(\rho = 0{,}75\) г/см\(^3\) закреплен на шарнире, а другой погружен в жидкость плотностью \(\rho_0 = 1\) г/см\(^3\). Найдите силу, с которой палочка действует на шарнир в положении равновесия. Ускорение свободного падения принять равным \(g = 10\text{ м/с}^2\). Ответ выразите в Ньютонах и округлите до целых.

К левому концу невесомого стержня длиной 70 см прикрепили нить с грузом массой 2 кг, к правому концу — нить с грузом массой 1 кг. Плотность материала грузов 3 г/см\(^3\). Груз меньшей массы погружен в воду полностью, груз большей массы — на половину его объема. На каком расстоянии от груза массой 2 кг должна находиться точка подвеса стержня, чтобы получившаяся система находилась в равновесии? Ответ представьте в сантиметрах и округлите до целых. Грузы в воде не касаются дна сосуда.

К концам легкого стержня длиной 30 см прикреплены два шарика одинакового объема. Плотность первого шарика составляет 3 г/см\(^3\). Чтобы стержень находился в равновесии в воздухе, его надо подвесить на нити на расстоянии 12 см от первого шарика. Чтобы этот же стержень находился в равновесии в жидкости, его надо подвесить на нити на расстоянии 10 см от первого шарика. Определите плотность второго шарика и плотность жидкости.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

Экспериментатор проводит опыты с однородной деревянной линейкой длиной 40 см и грузиком. Оказалось, что если уравновешивать линейку с грузиком на краю стола, то линейка начинает падать, когда длина её выступающей части превосходит 10 см (грузик при этом подвешивают на нитку за конец линейки). Если же при этом опустить грузик в стакан с водой, плотность которой равна 1000 кг/м\(^3\), эта длина становится равной 15 см (грузик при этом оказывается полностью погружён в воду). Определите отношение массы груза к массе линейки и плотность груза.

К правому концу \(A\) стержня, масса которого пренебрежимо мала, подвесили на тонкой нити алюминиевый шарик. Стержень положили на край сосуда с машинным маслом (как показано на рисунке), а к точке \(B\), находящейся на расстоянии \(l_1 = 50\) см слева от точки опоры \(O\), подвесили груз массой \(m_1 = 2{,}3\) кг. При этом шарик оказался погружен в масло на половину своего объема. Затем груз \(m_1\) сняли, а стержень с шаром перенесли и положили на край сосуда с водой так, что точка опоры \(O\) осталась прежней. Груз какой массой \(m_2\) надо подвесить к другому концу стержня \(C\), находящемуся на расстоянии \(l_2 = 110\) см от точки \(O\), чтобы алюминиевый шарик снова оказался погруженным на половину своего объёма? Плотности алюминия, машинного масла и воды равны \(\rho_{\text{а}} = 2700\) кг/м\(^3\), \(\rho_{\text{м}} = 800\) кг/м\(^3\) и \(\rho_{\text{в}} = 1000\) кг/м\(^3\), соответственно. Перед погружением шарика в воду его тщательно протерли от масла.

Однородная линейка подвешена к потолку на нити, привязанной к середине линейки. К линейке прикреплены груз и однородная цепочка так, как показано на первом рисунке. При этом линейка горизонтальна и находится в равновесии. Затем груз полностью погрузили в воду так, что он не касался дна и стенок стакана. Для того, чтобы сохранить равновесие системы, пришлось переместить точку прикрепления к линейке одного из концов цепочки на 1/4 длины линейки — как показано на втором рисунке. Какова средняя плотность материала, из которого сделан груз?

Посередине длинной доски массой \(M = 4\) кг сидит ворона. Доска при этом на три четверти погружена в воду. После того как ворона пересела на один из её концов, верхний край доски с этого конца опустился как раз до уровня воды (нижний край доски по-прежнему полностью погружен в воду). Найдите массу вороны.

В соленом океане плавают три небольших айсберга 1, 2 и 3, как показано на рисунке (масштабы соблюдены не везде). Каждый из них имеет форму прямоугольного параллелепипеда. На айсберге 1 стоит человек. Площади поверхностей верхних граней у этих айсбергов одинаковы, а высоты надводных частей равны \(h_1 = 5\) см, \(h_2 = 10\) см и \(h_3 = 12\) см соответственно. Когда человек перешёл с айсберга 1 на айсберг 2, то при равновесии поверхности айсбергов 1 и 2 оказались на одинаковой высоте над уровнем воды. После этого человек перешёл с айсберга 2 на айсберг 3. Определите, какими после этого стали высоты надводных частей каждого из айсбергов, когда вновь наступило равновесие.

В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка с привязанной к ней детской игрушкой. Силы натяжения всех нитей одинаковы и равны \(T\). Определите, в какую сторону и на сколько изменится уровень воды в стакане после того, как лёд растает. Площадь дна сосуда \(S\), плотность воды \(\rho\).

В цилиндрическом сосуде с водой плавает льдинка с привязанными к ней двумя детскими игрушками (см. рис.). Силы натяжения всех нитей одинаковы и равны \(T\). Определите, в какую сторону и на сколько изменится уровень воды в стакане после того, как лёд растает. Площадь дна сосуда \(S\), плотность воды \(\rho\).

В цилиндрическую кастрюлю, радиус основания которой равен \(R = 10\) см, налита вода и опущен кусок льда массой \(m = 400\) г. В этот кусок вморожена нитка, привязанная к воздушному шарику объёмом \(V = 8\) л, заполненному гелием. При этом уровень воды в кастрюле равен \(h = 30\) см. Кусок льда постепенно тает. В некоторый момент кусок льда уменьшается настолько, что воздушный шарик поднимает его над поверхностью воды. После этого шарик и лёд улетают. Чему в результате станет равен уровень воды в кастрюле? Плотность воды равна \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), льда — \(\rho_2 = 900\) кг/м\(^3\), воздуха — \(\rho_3 = 1{,}25\) кг/м\(^3\), гелия — \(\rho_4 = 0{,}18\) кг/м\(^3\), массой оболочки шарика можно пренебречь. Считайте, что масса капель воды, образовавшихся при таянии льда и упавших в кастрюлю после отрыва льда от поверхности воды, пренебрежимо мала. Некоторые числовые данные не являются необходимыми для решения, но их можно использовать, если так вам будет проще.

В цилиндрическую кастрюлю, радиус основания которой равен \(R = 10\) см, налита вода и опущен кусок льда массой \(m = 400\) г. В этот кусок вморожена нитка, привязанная к воздушному шарику объёмом \(V = 8\) л, заполненному гелием. При этом уровень воды в кастрюле равен \(h = 30\) см. Кусок льда постепенно тает. В некоторый момент кусок льда уменьшается настолько, что воздушный шарик поднимает его над поверхностью воды. После этого шарик и лёд улетают. Чему в результате станет равен уровень воды в кастрюле? Плотность воды равна \(\rho_1 = 1000\) кг/м\(^3\), льда — \(\rho_2 = 900\) кг/м\(^3\), воздуха — \(\rho_3 = 1{,}25\) кг/м\(^3\), гелия — \(\rho_4 = 0{,}18\) кг/м\(^3\), массой оболочки шарика можно пренебречь. Считайте, что масса капель воды, образовавшихся при таянии льда и упавших в кастрюлю после отрыва льда от поверхности воды, пренебрежимо мала. Некоторые числовые данные не являются необходимыми для решения, но их можно использовать, если так вам будет проще.

Внутри плавающего стакана лежит гвоздь. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_1 = 388\) мл. Когда гвоздь вынули из стакана и опустили в воду, предварительно привязав его ниткой к дну стакана, то он повис, не касаясь дна. Объём погруженной части стакана в воду равен \(V_2 = 372\) мл. Затем нить перерезали. Объём погруженной части стакана в воду уменьшился до \(V_3 = 220\) мл. Во сколько раз плотность гвоздя больше плотности воды?

Верхний, пресный слой воды в озере имеет толщину 50 см. Плотность пресной воды 1000 кг/м\(^3\). Глубинные воды озера имеют плотность 1200 кг/м\(^3\), потому что содержат в своем составе большее количество соли. В озеро опустили однородное тело в форме куба с длиной ребра 1 м. Плотность тела равна 1050 кг/м\(^3\). Найдите высоту, на которую верхняя грань куба выступает над поверхностью пресной воды. Площадь озера считайте очень большой. Ответ укажите в см и округлите до десятых.

В открытый сверху цилиндрический сосуд помещают меньший по размеру цилиндрический стакан массой 150 г. Сосуд наполняют водой до краёв так, что стакан остаётся плавать в воде. После этого начинают аккуратно переносить воду из сосуда в стакан. Площадь основания сосуда 100 см\(^2\), высота сосуда 15 см, сечение стакана 20 см\(^2\), высота стакана 10 см. Толщиной стенок сосуда и стакана можно пренебречь. Плотность воды равна 1000 кг/м\(^3\).

1. Какой объём воды можно перенести из сосуда в стакан, чтобы он ещё плавал в воде? Ответ укажите в см\(^3\) и округлите до целых.

2. Насколько изменится уровень воды в сосуде? Ответ укажите в см и округлите до целых.

Алюминиевая гайка массой 60 г привязана к шарику, заполненному гелием, с помощью тонкой лёгкой нитки. Объём шарика таков, что гайка с шариком остаются неподвижными в воздухе, не касаясь земли.

Гайку охлаждают до очень низкой температуры и погружают в цилиндрический сосуд с водой, удерживая её ниже уровня жидкости. Когда процесс намерзания льда прекращается, образуется кусок льда с вмороженной в него гайкой, соединённый тонкой ниткой с гелиевым шариком. После этого удержание гайки прекращают, и в состоянии равновесия кусок льда с гайкой, привязанный к шарику, плавает, погрузившись в воду на \(\dfrac45\) объёма.

Плотности веществ: вода "— 1000 кг/м\(^3\), лёд "— 900 кг/м\(^3\), воздух "— \(1{,}25\) кг/м\(^3\), гелий "— \(0{,}18\) кг/м\(^3\), алюминий "— 2700 кг/м\(^3\). Площадь сечения сосуда равна 40 см\(^2\).

Не все из приведённых данных необходимы для решения задачи, однако их можно использовать, если вы считаете, что это будет полезно.

1. (2 балла) Определите по этим данным массу намёрзшего на гайку льда. Ответ дайте в граммах, округлите до целого.

2. (3 балла) На сколько миллиметров изменится уровень воды в сосуде после таяния льда (относительно уровня воды в положении равновесия, устанавливающегося после окончания удерживания гайки)? Считайте, что вся вода, образующаяся при таянии, остаётся в сосуде. Ответ дайте в миллиметрах (без учёта знака), округлите до целого.

На горизонтальном глинистом дне водоёма стоит кубик с длиной ребра \(a\) и плотностью \(\rho\). Высота уровня воды над верхней гранью кубика равна \(H\). В начальный момент времени воды под кубиком нет. Вода начинает очень медленно подтекать под кубик. Чему будет равна площадь \(S\) части нижней грани, которая останется сухой к моменту, когда кубик начнёт всплывать? Плотность воды равна \(\rho_{\text{в}}\), кубик легче воды.

Длинный однородный брусок с поперечным сечением в виде прямоугольника со сторонами \(a \neq b\) подвешен на двух вертикальных нитях, прикреплённых к одному из рёбер, над сосудом, в который наливают воду. Когда в сосуд налили некоторое количество воды, два ребра бруска оказались точно на поверхности воды (вид сбоку, со стороны вышеупомянутого поперечного сечения, показан на рисунке). Найдите плотность материала, из которого сделан брусок. Плотность воды \(\rho = 1\) г/см\(^3\).

Школьница Ирина проводит опыты с сосудами с наклонным дном. На дне первого сосуда — кубик, на дне второго сосуда — полусфера. Уровень воды в каждом сосуде точно совпадает с положением наивысшей точки кубика или полусферы. Оказалось, что сила давления, действующая со стороны воды как на кубик, так и на полусферу (без учёта атмосферного давления), направлена горизонтально. Под каким углом к горизонту наклонено дно первого сосуда? Второго сосуда? Вода под кубик и полусферу не подтекает.

Мальчик Влад бегает по кругу, держа в руке конец нитки длиной \(2\sqrt{2}\) м, к другому концу которой прикреплен небольшой надувной шарик с гелием внутри. Один круг Влад пробегает за \(2\pi\) секунд. Рука, держащая нить, движется по окружности радиусом 2 м. Шарик движется по окружности такого же радиуса на 2 метра выше руки по вертикали. С какой установившейся скоростью будет взлетать шарик, если нить отпустить.

Можно считать, что сила сопротивления воздуха пропорциональна квадрату скорости, а радиус шарика много меньше длины нити. Ускорение свободного падения равно \(g = 10\) м/с\(^2\).

Небольшой пустой тонкостенный цилиндрический стакан объёмом \(V_0\) переворачивают вверх дном и медленно погружают в глубокий водоём, удерживая ось стакана в вертикальном положении. Над поверхностью водоёма находится воздух (атмосферное давление \(p_0\)), температура которого равна температуре воды, а относительная влажность 100%. По какому закону будет изменяться модуль выталкивающей силы, действующей на стакан, при его погружении от поверхности воды в водоём на глубину \(H\)? Плотность воды равна \(\rho\), ускорение свободного падения \(g\), давление насыщенных паров воды при данной температуре \(p_{\text{н}}\).

Отличник Тимофей уравновесил тонкую однородную палочку, прикреплённую одним концом к шарниру, опустив другой её конец в вертикальный сосуд с жидкостью. При этом палочка находилась в равновесии, располагалась под углом \(\alpha\) к вертикали и была погружена в жидкость на \(1/n\) часть своей длины. Площадь горизонтального поперечного сечения сосуда \(S\), длина палочки \(L\), плотность её материала \(\rho\). Стенки сосуда и поверхность палочки посеребрены.

В некоторой точке \(A\) над поверхностью жидкости, на одной высоте с точкой крепления палочки, экспериментатор Тимофей расположил выходное окно лазерной указки, и направил от неё на стенку сосуда узкий световой луч, идущий параллельно палочке. Этот луч, распространяясь только в воздухе, отразился от стенки сосуда, затем отразился от палочки, и вернулся обратно в точку \(A\). Но тут «добрая» подруга Анфиса решила привлечь внимание Тимофея и приоткрыла кран, через который жидкость начала медленно выливаться из сосуда. Тимофей сначала рассердился, но быстро успокоился, так как понял, что через некоторое время луч всё равно вернётся в точку \(A\) — главное, вовремя закрыть кран! Какую массу жидкости следует вылить из сосуда для того, чтобы при неизменном угле падения света на стенку сосуда луч света, испущенный из точки \(A\), распространяясь только в воздухе, опять вернулся в эту точку?

Деревянный брусок плотностью \(\rho = 500\) кг/м\(^3\) в форме прямоугольного параллелепипеда имеет длину \(L = 1\) м и квадратное поперечное сечение со стороной \(a = 10\) см. Брусок опустили в воду большого озера и удерживали его в таком неустойчивом положении равновесия, что одна из длинных граней бруска была сухой и горизонтальной, при этом половина объёма бруска была погружена в воду. Брусок отпустили, и он принял устойчивое положение, повернувшись вокруг своей оси симметрии на угол \(45^\circ\). На сколько в результате этого уменьшилась потенциальная энергия системы «вода + брусок»? Плотность воды равна \(2\rho\).

Есть два цилиндрических геометрически подобных сосуда, изготовленных из одного и того же материала, плотность которого больше плотности воды. Сосуды тонкостенные, но с массивным дном. Их линейные размеры относятся как \(2:1\). Больший сосуд стоит на горизонтальном столе и заполнен водой; в нём плавает (естественно, не касаясь дна) меньший сосуд, также заполненный водой. Известно, что объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма. Толщина дна каждого сосуда равна \(\dfrac{1}{k}\) его высоты, где \(k>1\). Плотность воды равна \(1000\text{ кг/м}^3\).

1. Пусть \(k=4\). Определите диапазон возможных значений плотности \(\rho\) материала сосудов.

2. При каких значениях \(k\) не существует ответа на вопрос предыдущего пункта?

3. Предположим, что число сосудов увеличилось до \(N\). \(N\)-й сосуд стоит на столе и заполнен водой; в нём плавает \((N-1)\)-й сосуд, в нём — \((N-2)\)-й и так далее. Линейные размеры сосудов относятся как \(N:(N-1):(N-2):\dots:2:1\). Объём воды в каждом сосуде составляет одну и ту же долю его внутреннего объёма.

   Утверждается, что при заданном значении \(k\) (\(k>2\)) и некотором значении \(\rho\) (\(\rho>\rho_0\)) такая система сосудов может существовать в равновесии (возможно, неустойчивом) для любого \(N\geqslant3\).

   Верно ли это утверждение?