Переливание воды между сосудами

Масса, перелитая туда и обратно, одна и та же — иначе объёмы не вернулись бы. Составьте уравнение теплового баланса отдельно для каждой смеси.

Переливали \(V=\dfrac17\text{ л}\approx0{,}14\text{ л}\approx0{,}14\text{ кг}\) воды (столько же туда и обратно); температура воды во втором сосуде после первого переливания была \(25\text{ }^\circ\text{C}\).

Что происходит. Первое переливание — это смешивание горячей воды малой массы \(x\) с холодной водой во втором сосуде, второе — возврат такой же массы тёплой воды (\(T_2\ne20\text{ }^\circ\text{C}\)) в горячий сосуд. Оба раза работает уравнение теплового баланса: тепло, отданное более горячей водой, равно теплу, полученному более холодной; потерь нет (сосуды теплоизолированы), теплоёмкостью сосудов пренебрегаем.

Обозначения. \(x\) — масса (в килограммах; плотность воды \(1\text{ кг/л}\), поэтому численно \(x\) равно объёму в литрах), перелитая в каждую сторону. \(T_2\) — температура воды во втором сосуде после выравнивания. Начальные: \(m_1=5\text{ кг}\) при \(t_1=60\text{ }^\circ\text{C}\), \(m_2=1\text{ кг}\) при \(t_2=20\text{ }^\circ\text{C}\). Удельная теплоёмкость воды \(c\) сокращается.

1. Первое переливание. Уравнение теплового баланса для воды второго сосуда: масса \(x\) при \(60\text{ }^\circ\text{C}\) остывает до \(T_2\), масса \(m_2=1\) при \(20\text{ }^\circ\text{C}\) нагревается до \(T_2\): \[c\,x\,(60-T_2)=c\,m_2\,(T_2-20)\ \Rightarrow\ T_2=\frac{20+60x}{1+x},\qquad 60-T_2=\frac{40}{1+x}.\]

2. Возврат. Перелито обратно столько, чтобы объёмы стали прежними: во втором сосуде снова 1 кг, в первом \(5\) кг. Значит, масса возврата равна \(x\) (масса, ушедшая из второго сосуда, равна \(x\), потому что там было \(1+x\), стало \(1\)). Уравнение теплового баланса для первого сосуда: вода \((5-x)\) при \(60\text{ }^\circ\text{C}\) смешивается с водой \(x\) при \(T_2\), итоговая температура \(t=59\text{ }^\circ\text{C}\): \[(5-x)\cdot60+x\,T_2=5\,t\ \Rightarrow\ x\,(60-T_2)=5\,(60-t)=5\ \text{(в градусах}\cdot\text{кг)}.\]

3. Собираем. Подставляем \(60-T_2\) из пункта 1: \[\frac{40\,x}{1+x}=5\ \Rightarrow\ 40x=5+5x\ \Rightarrow\ x=\frac17\text{ л}.\] Обратите внимание: в первый сосуд возвращается вода не при \(20\text{ }^\circ\text{C}\), а при \(T_2\): если считать её температуру равной \(20\text{ }^\circ\text{C}\), получится \(x=\tfrac{5}{40}=0{,}125\text{ л}\) — другой ответ. Температура \(T_2\) тоже определяется только после первого переливания.

Ответ. В буквах: \(x=\dfrac{m_1m_2\,(t_1-t)}{m_2(t_1-t_2)-m_1(t_1-t)}\); в числах \(x=\dfrac{5\cdot1\cdot1}{40-5}=\dfrac17\text{ л}\approx0{,}14\text{ л}\); температура во втором сосуде после первого переливания \(T_2=\dfrac{20+60/7}{8/7}=25\text{ }^\circ\text{C}\).

Проверка. Подстановка: \(T_2=25\text{ }^\circ\text{C}\); первый сосуд: \(\dfrac{(5-\frac17)\cdot60+\frac17\cdot25}{5}=\dfrac{291{,}43+3{,}57}{5}=59\text{ }^\circ\text{C}\), как в условии. Предел: \(x\to0\) даёт \(t\to60\text{ }^\circ\text{C}\) (воду не переливали), \(x=1\) даёт \(56\text{ }^\circ\text{C}\): на графике \(t_1(x)=60-\dfrac{8x}{1+x}\) значение \(59\) достигается при \(x=\tfrac17\), и других решений нет, потому что функция монотонна.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.