Дым двух паровозов

Дым, вышедший из трубы раньше, ветер уносит с одной и той же скоростью. Куда смотрит шлейф, если смотреть из системы отсчёта паровоза?

Скорость ветра \(w\approx34\text{ км/ч}\); ветер дует под углом около \(47^\circ\) к рельсам: его составляющая вдоль пути \(\approx24\text{ км/ч}\) (в сторону движения второго паровоза), поперёк пути \(\approx25\text{ км/ч}\) (к той стороне, куда уходят шлейфы на рисунке).

Что происходит. Дым, выброшенный трубой, дальше относится только ветром: сам паровоз его уже не толкает. Поэтому шлейф — это цепочка частиц дыма, вышедших из трубы в разные моменты, и сегодня каждая из них находится там, куда её снесло ветром за прошедшее время. Главная идея: в системе отсчёта паровоза воздух движется со скоростью \(\vec w-\vec v\), и шлейф вытягивается вдоль этой относительной скорости.

Обозначения. \(\vec w\) — скорость ветра относительно земли (воздух движется с одной скоростью \(\vec w\) в обоих местах), \(\vec v_1,\vec v_2\) — скорости паровозов относительно земли. Ось \(x\) направим вдоль пути по скорости \(\vec v_2\), ось \(y\) — поперёк пути, в ту сторону, куда на рисунке уходят шлейфы.

1. Направление шлейфа. Частица дыма вышла из трубы первого паровоза \(\tau\) назад, когда паровоз был в точке, отстоящей от нынешнего положения на \(v_1\tau\) против хода (за это время он сдвинулся на \(\vec v_1\tau\)). После выхода частица смещается только ветром на \(\vec w\tau\). Её положение относительно паровоза сейчас — вектор от паровоза до частицы: \[\vec\rho=-\vec v_1\tau+\vec w\tau=(\vec w-\vec v_1)\tau .\] Для любого \(\tau\) вектор \(\vec\rho\) направлен по \(\vec w-\vec v_1\), значит, шлейф — прямая в направлении \(\vec w-\vec v_1\). Для второго паровоза так же: шлейф идёт вдоль \(\vec w-\vec v_2\).

2. Снимаем направления с рисунка. Первый шлейф поднимается на \(0{,}34\) своей длины по оси \(x\) (угол около \(19^\circ\) к рельсам), второй — на \(0{,}54\) (около \(28^\circ\)); по рисунку первый паровоз левее, и шлейфы идут вверх навстречу друг другу. Значит, \[\vec w-\vec v_1\parallel(1;\,0{,}34),\qquad \vec w-\vec v_2\parallel(-1;\,0{,}54)\] (для второго шлейф идёт влево от паровоза, к первому). Проекции: \(\vec v_1=(-50;\,0)\) и \(\vec v_2=(70;\,0)\) км/ч.

3. Два условия на один вектор. Неизвестен \(\vec w=(w_x;\,w_y)\). Из направления первого шлейфа \(w_y=0{,}34\,(w_x+50)\), из второго \(w_y=0{,}54\,(70-w_x)\). Приравниваем: \[0{,}34\,(w_x+50)=0{,}54\,(70-w_x)\ \Rightarrow\ 0{,}88\,w_x=37{,}8-17\ \Rightarrow\ w_x\approx23{,}6\text{ км/ч},\quad w_y\approx25{,}0\text{ км/ч}.\] То же построением: откладываем из одной точки \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\); через конец каждого проводим прямую, параллельную своему шлейфу; их пересечение — конец вектора \(\vec w\).

Обратите внимание: шлейфы на рисунке не пересекаются в «точке источника» — их пересечение на фотографии ничего не значит: это дым, вышедший в разное время. Скорость ветра даёт пересечение прямых на диаграмме скоростей, а не на фотографии.

Ответ. В буквах: \(\vec w=\vec v_1+k_1\,\vec e_1=\vec v_2+k_2\,\vec e_2\), где \(\vec e_{1,2}\) — единичные векторы вдоль шлейфов; в числах \(w=\sqrt{w_x^2+w_y^2}\approx\sqrt{23{,}6^2+25{,}0^2}\approx34\text{ км/ч}\), угол к рельсам \(\operatorname{arctg}(25{,}0/23{,}6)\approx47^\circ\).

Проверка. Относительная скорость воздуха у первого паровоза \(\vec w-\vec v_1=(73{,}6;\,25{,}0)\) км/ч: наклон \(25{,}0/73{,}6=0{,}34\), как на рисунке; у второго \(\vec w-\vec v_2=(-46{,}4;\,25{,}0)\): наклон \(25{,}0/46{,}4=0{,}54\). Точность ответа определяется точностью замера углов по снимку: при отклонении наклонов на \(\pm0{,}02\) скорость меняется на 1–2 км/ч. Смысл: ветер умеренный, порядка 10 м/с, и дует так, что его составляющая вдоль пути близка к скорости второго паровоза — поэтому у второго паровоза шлейф идёт круче.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.