Тело и наблюдатель

Перейдите в систему отсчёта наблюдателя: она движется равномерно, значит, тело в ней по-прежнему движется с ускорением \(\vec g\). Что вы знаете о положении тела относительно наблюдателя в моменты пересечения?

1) Траектория — вертикальный отрезок: тело поднимается по вертикальной прямой, останавливается (в наблюдательной системе) и падает назад по той же прямой; 2) пути за последовательные промежутки \(\tau\) относятся как \(1:2:3:4:\dots\) (первый равен \(g\tau^2\)).

Что происходит. Наблюдатель движется равномерно, поэтому его система отсчёта инерциальна, и в ней тело движется с тем же ускорением \(\vec g\), что и на земле. Условие «оба раза тело впереди на одном и том же расстоянии» означает, что в этой системе тело в моменты \(t_1\) и \(t_2=t_1+\tau\) находится в одной и той же точке. Тело с постоянным ускорением возвращается в ту же точку, только если оно движется по прямой, параллельной ускорению, — по вертикали.

Обозначения. \(\vec u\) — скорость наблюдателя, \(A_1,A_2\) — его положения в моменты \(t_1,t_2\), \(B_1,B_2\) — положения тела в эти моменты на траектории-параболе, \(d\) — расстояние от наблюдателя до тела. По условию \(B_1,B_2\) лежат на прямой пути наблюдателя, \(\overrightarrow{A_1B_1}=\overrightarrow{A_2B_2}\) (одинаковое направление вдоль пути, «впереди», и одинаковая длина \(d\)). Время \(t_{\text{в}}=(t_1+t_2)/2\) — середина интервала.

Пункт 1. Траектория в системе наблюдателя.

1. Радиус-вектор тела относительно наблюдателя \(\vec r=\overrightarrow{AB}\). Относительное ускорение равно разности ускорений: наблюдатель не ускоряется, тело имеет \(\vec g\), поэтому \(\ddot{\vec r}=\vec g\). Поэтому для \(s=t-t_{\text{в}}\) \[\vec r(s)=\vec r_{\text{в}}+\vec w\,s+\frac{\vec g\,s^2}{2},\] где \(\vec r_{\text{в}}\) и \(\vec w\) — относительные положение и скорость в момент \(t_{\text{в}}\).

2. Условие \(\vec r(t_1)=\vec r(t_2)\) означает \(\vec r(-\tau/2)=\vec r(\tau/2)\). Вычитаем: \(\vec w\,\tau=0\), то есть \(\vec w=0\). Тело в момент \(t_{\text{в}}\) относительно наблюдателя неподвижно, и \[\vec r(s)=\vec r_{\text{в}}+\frac{\vec g\,s^2}{2}.\] Это отрезок прямой, параллельной \(\vec g\), то есть вертикали (наблюдатель видит тело движущимся только вверх и вниз). Вверх оно уходит, пока \(s<0\), останавливается при \(s=0\) (в момент \(t_{\text{в}}\)) и по той же прямой падает вниз, как мячик, брошенный вертикально. Ось этой вертикали стоит на расстоянии \(d\cos\alpha\) от наблюдателя (\(\alpha\) — угол наклона пути к горизонту). Относительно земли в момент \(t_{\text{в}}\) скорость тела равна скорости наблюдателя \(\vec u\) — это и есть «высшая точка» в системе наблюдателя.

Пункт 2. Пути за последовательные промежутки \(\tau\).

3. Измерения начинаются в момент \(t_2\), то есть при \(s=\tau/2\). Расстояние от высшей точки (в системе наблюдателя) до положения при \(s\) равно \(h(s)=\dfrac{g s^2}{2}\) (свободное падение с нулевой начальной скоростью). Заметим, что тело падает (\(s>0\)) по одному направлению (вниз), пройденный путь равен разности \(h\).

4. Моменты измерений: \(s_k=\dfrac\tau2+k\tau\), \(k=0,1,2,\dots\) Путь за \(k\)-й промежуток \[S_k=h(s_k)-h(s_{k-1})=\frac g2\Bigl[\bigl(\tfrac\tau2+k\tau\bigr)^2-\bigl(\tfrac\tau2+(k-1)\tau\bigr)^2\Bigr]=\frac g2\,\tau^2\,(2k)=k\,g\tau^2 ,\quad k=1,2,3,\dots\] (использовано \(a^2-b^2=(a-b)(a+b)\): разность \(\tau\), сумма \(2k\tau\)). Первый путь \(S_1=g\tau^2\), второй \(S_2=2g\tau^2\), третий \(S_3=3g\tau^2\).

Обратите внимание: отсчёт начинается не от остановки тела, а через \(\tau/2\) после неё, поэтому отношение \(1:2:3\) — а не \(1:3:5\), как при падении из состояния покоя с самого начала отсчёта. Дальше пути растут на одно и то же \(g\tau^2\).

Ответ. Траектория — вертикальный отрезок; \(S_1:S_2:S_3:\dots=1:2:3:\dots\), \(S_k=k\,g\tau^2\).

Проверка. Размерность: \([g\tau^2]=\text{м}\). Числом при \(g=1\), \(\tau=2\): глубина под высшей точкой при \(s=1,3,5,7\) равна \(0{,}5;\,4{,}5;\,12{,}5;\,24{,}5\), разности \(4;\,8;\,12\) — как \(1:2:3\) при \(g\tau^2=4\). Смысл: первый путь \(g\tau^2\) тело проходит, начав со скоростью \(g\tau/2\) вниз, — та самая скорость, с которой оно «вернулось» в точку пересечения (в момент \(t_1\) оно шло вверх с этой же скоростью).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.