Осколки гранаты

Перейдите в систему отсчёта, движущуюся вместе с гранатой до взрыва: там первым упадёт осколок, летящий вертикально вниз, последним — летящий вертикально вверх. Разность времён их падения даёт скорость разлёта.

Перейдём в систему отсчёта, которая имеет такую же скорость, как граната до взрыва. В ней все осколки разлетаются с одинаковыми скоростями: первым на землю упадёт осколок, который движется вертикально вниз, последним — тот, который движется вертикально вверх. Пусть при взрыве осколки приобретают скорость \(v_1\) (в системе отсчёта, где граната покоилась). Высота взрыва \(h = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\), времена падения первого и последнего осколков \(t_1\) и \(t_2\) определяются из уравнений \[h = v_1t_1 + \frac{gt_1^2}{2}, \qquad h = -v_1t_2 + \frac{gt_2^2}{2}.\] Отсюда \[t_1 = \frac{-v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}, \qquad t_2 = \frac{v_1 + \sqrt{v_1^2 + 2gh}}{g}.\] Вычитая первое равенство из второго, получим \[\Delta t = t_2 - t_1 = \frac{2v_1}{g} \quad\Rightarrow\quad v_1 = \frac{g\,\Delta t}{2}.\] Подставляя это значение в формулу для \(t_1\) и используя \(h = \dfrac{v_0^2\sin^2\alpha}{2g}\), найдём время падения первого осколка на землю: \[t_1 = \frac{\Delta t}{2}\left(\sqrt{1 + \frac{4v_0^2\sin^2\alpha}{g^2\Delta t^2}} - 1\right).\] Этот ответ не зависит от системы отсчёта, поэтому то же время будет и в системе отсчёта, связанной с землёй.