Скорость обратно пропорциональна координате

Скорость не постоянна, поэтому разбейте путь на малые участки \(\Delta x_n\), на каждом из которых скорость можно считать постоянной, и вычислите сумму времён. Сумма примет вид площади под графиком функции \(y = x\).

Движение не является ни равномерным, ни равноускоренным, поэтому время будем вычислять, исходя из определения скорости. Разобьём траекторию на малые элементы \(\Delta x_1, \Delta x_2, \ldots\), на каждом из которых скорость постоянна. Время прохождения \(n\)-го элемента \[\Delta t_n = \frac{\Delta x_n}{v(x_n)} = \frac{1}{c}\,x_n\Delta x_n,\] где \(v(x_n)\) — скорость тела внутри \(n\)-го элемента. Полное время прохождения участка от \(x\) до \(2x\) \[t = \Delta t_1 + \Delta t_2 + \Delta t_3 + \ldots = \frac{1}{c}\left(x_1\Delta x_1 + x_2\Delta x_2 + x_3\Delta x_3 + \ldots\right).\] Сумма в скобках вычисляется графически: строим график зависимости \(y = x\). Тогда сумма (*) равна площади под графиком \(y(x)\) между вертикальными прямыми \(x\) и \(2x\). Эта фигура — трапеция с высотой \(x\) и основаниями \(x\) и \(2x\).

Площадь трапеции \[\frac{x + 2x}{2}\cdot x = \frac{3x^2}{2}, \qquad t = \frac{3x^2}{2c}.\]