Средняя скорость как график
4/10На графике приведена зависимость средней скорости \(v_{\text{ср}}\) автомобиля за все время движения от времени \(t\). Найдите, в какой момент времени значение скорости по модулю было минимально. Какой путь проехал автомобиль? Движение автомобиля прямолинейное.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость с начала движения равна \(x(t)/t\). Выразите отсюда координату \(x(t)\) и посмотрите, какой вид имеет её график и когда мгновенная скорость обращается в нуль.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветМинимальная по модулю скорость равна \(0\) (в момент \(t = 1\) ч, когда автомобиль развернулся); путь за 2 ч равен \(100\) км.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеИз графика следует, что \[v_{\text{ср}} = 100 - 50t.\] С другой стороны, \[v_{\text{ср}} = \frac{x - x_0}{t} \quad\Longrightarrow\quad x(t) = 100t - 50t^2 = 50t(2 - t),\] где \(x\) — координата автомобиля в момент времени \(t\), \(x_0\) — начальная координата, которую мы приняли равной нулю. График функции \(x(t)\) — парабола, и при \(t = 1\) ч имеет максимум (это говорит о том, что автомобиль развернулся). Значит, минимальное значение скорости по модулю равно \(0\) км/ч. За первый час автомобиль проехал \(x(1) = 100 - 50 = 50\) км. Следовательно, пройденный путь за 2 ч равен \(100\) км.
Всё меняется
4/10Небольшое тело движется вдоль прямой из состояния покоя. Зависимость ускорения тела \(a\) от его скорости \(v\) показана на рисунке ниже.
Исследуйте зависимость обратного ускорения \(a^{-1}\) от скорости и найдите время, за которое скорость тела увеличивается от 0 до 4 м/с.
В случае вопроса, предполагающего выбор значения, в ответе следует указать номер столбца, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыразите малое время \(dt\) через \(dv\) и \(a\): \(dt = dv/a\). Что тогда означает площадь под графиком \(a^{-1}(v)\)?
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветОтвет 3: \(t = 12\) с.
Забег с убывающей скоростью
5/10Спортсмен начал забег по прямой и первые 10 м бежал со скоростью 10 м/с, следующие 10 м со скоростью 9 м/с, следующие 10 м со скоростью 8 м/с, и так далее…{} Сколько времени длился забег до остановки? С какой средней скоростью спортсмен пробежал первую половину дистанции \(S/2\)?
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите время на каждом десятиметровом участке и просуммируйте. Сколько всего участков в забеге? Для первой половины дистанции найдите, на каком участке она заканчивается.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветЗабег длился \(\approx 29{,}29\) с; средняя скорость на первой половине дистанции \(\approx 7{,}74\) м/с.
Марсоход и график обратной скорости
5/10Марсоход двигался по поверхности красной планеты. Его бортовой компьютер дал сбой и в течение 12 минут строил график зависимости обратной величины средней путевой скорости \(\dfrac{1}{V_{\text{ср}}}\) от времени \(t\) (которую компьютер вычислял с момента сбоя). Помогите ученым расшифровать полученные результаты.
Постройте график зависимости мгновенной скорости марсохода от времени.
Определите путь, пройденный марсоходом за эти 12 минут.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаТам, где \(1/V_{\text{ср}}\) постоянна, мгновенная скорость равна средней. А что происходит с путём, когда на графике наклонный участок?
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) график мгновенной скорости: \(10\) м/мин на \(0\)–\(1\) мин, \(0\) на \(1\)–\(2\) мин, \(5\) м/мин на \(2\)–\(4\) мин, \(0\) на \(4\)–\(6\) мин, \(10/3\) м/мин на \(6\)–\(9\) мин, \(0\) на \(9\)–\(12\) мин (см. рис.); 2) \(30\) м.
Удлиняется и поворачивается
5/10Материальная точка движется так, что модуль её радиус-вектора \(r(t)\) и угол \(\varphi(t)\) между осью \(0x\) и радиус-вектором связаны соотношением \[r(t)\cdot\varphi(t) = \text{const}.\] В нулевой момент времени \(r(0) = 2\) м, \(\varphi(0) = \dfrac{\pi}{2}\). Радиальная компонента скорости точки в процессе движения не меняется: \(v_r = 1\) м/с.
Через какое время после начала движения радиус-вектор повернётся на угол \(\dfrac{\pi}{6}\) относительно начального положения? Ответ дайте в секундах, округлите до десятых.
Чему равен модуль угловой скорости вращения радиус-вектора в начальный момент времени? Ответ дайте в рад/c, округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз постоянства \(r\varphi\) выразите \(\varphi\) через \(r\), а \(r\) через время: радиальная скорость постоянна, так что \(r(t)\) линейна. Угловая скорость — производная \(\varphi\) по времени.
Средняя скорость по графику
6/10Материальная точка начинает двигаться прямолинейно вдоль оси \(OX\). Автоматизированная экспериментальная установка очень точно измеряет координату точки через каждую миллисекунду и передаёт эти данные компьютеру для обработки. Компьютер каждую миллисекунду рассчитывает среднюю путевую скорость \(V_{\text{ср}}\) точки за всё время, прошедшее от начала движения до текущего момента, и строит график зависимости \(V_{\text{ср}}\) от времени \(t\) (см. рис.). Однако в момент времени \(t_0 = 10\) с экспериментальная установка сломалась и перестала передавать компьютеру данные, а материальная точка продолжала двигаться. Определите максимально возможное значение времени \(t\), до которого убывающий участок графика после 8 с (пунктирная линия на рисунке) мог быть прямолинейным.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаНайдите по прямой части графика закон \(V_{\text{ср}}(t)\), а по нему — путь \(S(t) = V_{\text{ср}}t\) и скорость точки. Прямолинейность возможна, пока скорость не обратится в нуль: после этого точка начала бы возвращаться.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветУбывающий участок графика мог быть прямолинейным до момента \(t_{\max} = 12\) с.
Модуль ускорения по вектору скорости
1/10Скорость материальной точки задана векторной функцией времени; ускорение — производная по компонентам, затем модуль в заданный момент.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Перемещение при заданной скорости
2/10Вектор скорости задан как v0(b-ct) по компонентам; интегрированием найти перемещение за промежуток и модуль вектора.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Путь по заданной скорости
2/10Вектор скорости зависит от времени с поворотом направления; путь — интеграл модуля скорости, а не модуль перемещения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ускорение, заданное графиком a(x)
3/10Ускорение задано как функция координаты; через v dv = a dx скорость находится по площади под графиком.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Спортсмен с убывающей скоростью
4/10Скорость уменьшается на каждом десятиметровом участке на 1 м/с; суммируя времена, найти время, среднюю скорость на половине пути и путь за половину времени.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Красная Шапочка ускоряет шаг
4/10Длина обратного пути — гипотенуза прямоугольного треугольника, по ней вычисляется число шагов; время каждого шага на 0,1 % меньше предыдущего, и суммарное время даёт сумма геометрической прогрессии, сравниваемая с оставшимися минутами.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скорость обратно пропорциональна координате
4/10Скорость v=c/x зависит от координаты; время перемещения из x в 2x находят суммированием малых промежутков dt=dx/v (или через среднее значение x), получая ответ через x² и c.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Рулон газетной бумаги
4/10Рулон тратится с постоянным расходом бумаги; радиус уменьшился до 2/3 за 10 дней, по площади кольцевого сечения найти оставшееся время (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Шайба со скоростью V0(1-t/T)
4/10Скорость шайбы убывает линейно со временем; путь как площадь под графиком, сила из ускорения и работа как изменение кинетической энергии (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Непонятное движение
4/10Скорость задана как функция координаты v=αx²; ускорение a=v·dv/dx получается как a∝x³, по известному a1 найти a2 (варианты 1–2).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Связь координаты и скорости точки
4/10Скорость линейно зависит от координаты, поэтому закон движения экспоненциальный; найти координату в заданный момент по начальным условиям.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Полоса разгона
4/10Автомобиль разгоняется так, что скорость всё время равна τ·a: ускорение на старте — v0/τ; рывок на финише j=a/τ=v1/τ²; длину полосы получают, разделив v=τ·dv/dt на время: dx/dt=τ·dv/dt, откуда l=τ(v1−v0) (варианты 1–5).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скорость как дуга окружности
5/10Дан график v(x) в виде дуги окружности; ускорение a = v·dv/dx находится по наклону касательной к окружности в точке с заданным углом.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скорость по графику a(S)
5/10По графику ускорения от пути (a dS = v dv, площадь под графиком даёт изменение v²/2) найти скорость на половине пути S0/2.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Катер, скорость которого зависит от координаты
5/10Скорость линейно убывает с координатой v=a-bx; по двум моментам найти время прохода заданной координаты через экспоненциальный закон движения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Винни-Пух и пробитый шарик
5/10Ускорение растёт линейно от g/2 до g за 2 с; скорость при падении — площадь под графиком a(t).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ускорение зависит от скорости
6/10Ускорение падает с ростом скорости по линейному закону; время разгона от нуля до 2v0 находят суммированием Δv/a — как площадь под графиком 1/a(v).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Ускорение зависит от скорости
6/10Ускорение линейно падает с ростом скорости; время набора скорости 2v0 находят суммированием Δv/a(v) — как площадь под графиком 1/a(v).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Движение со связью x(v)
6/10Координата и скорость связаны соотношением x=Av²+B; через производную находят ускорение как функцию координаты и выясняют, вернётся ли тело в исходную точку и когда.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Падающий кокос
2/10Наблюдая за кокосом, свободно падающим с вершины пальмы, турист обнаружил, что пройденное им расстояние \(s\) зависит от времени падения \(t\) как \(s = \dfrac{gt^2}{2}\), где \(g = 10\text{ м/с}^2\). Турист также определил, что средняя скорость кокоса за время падения составляет \(v_{\text{ср}} = 5\text{ м/с}\). Определите высоту пальмы \(h\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя скорость есть путь, делённый на время; выразите и путь, и время через высоту и \(g\).
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(h = \dfrac{2v_{\text{ср}}^2}{g} = 5\text{ м}\).
Ускорение точки по графику
3/10Ускорение точки, совершающей одномерное движение по оси \(x\), в зависимости от времени представлено на графике.
Сколько раз останавливалась точка в течение первых пяти секунд, если её начальная скорость равна нулю?
Найдите величину средней путевой скорости точки в течение первых четырёх секунд. Ответ выразите в м/с и округлите до десятых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость точки есть площадь под графиком ускорения; точка останавливается, когда эта площадь обращается в нуль. Путь считайте как сумму модулей перемещений на участках с неизменным направлением движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 2; 2) \(0{,}5\text{ м/с}\).
Путевая и мгновенная скорости
4/10Металлический шарик после выстрела из игрушечной пушки движется вертикально вверх в поле тяжести Земли. Начальная скорость шарика равна 28 м/с. Считая, что ускорение свободного падения равно 10 м/с\(^2\), найдите, через какое время после начала движения мгновенная скорость шарика станет равна средней путевой скорости. Сопротивлением воздуха можно пренебречь. Средняя путевая скорость (по определению) есть отношение пройденного пути к времени его прохождения. Ответ выразите в секундах, округлите до целого.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаМгновенная скорость сравняется со средней путевой уже после верхней точки подъёма. Запишите путь за время \(t > v_0/g\) как сумму пути вверх и пути вниз.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ\(t \approx 4\) с.
▶РешениеСкрыть: решение
РешениеЛегко видеть, что искомое время \(t\) удовлетворяет неравенству \(t > v_0/g\). Тогда пройденный за время \(t\) путь равен \[L(t) = \frac{v_0^2}{g} + \frac{g t^2}{2} - v_0 t,\] а мгновенная скорость равна \[v(t) = g t - v_0 .\] Приравняв среднюю путевую скорость \(v_L = L(t)/t\) мгновенной, получим уравнение, решив которое найдём ответ: \(t = \dfrac{v_0}{g}\sqrt2 \approx 4\) с.
Аппарат в облаке межзвёздной пыли
5/10Космонавт Ярослав, находясь на космической станции вдали от небесных тел, запускает космические аппараты, которые пролетают через облако межзвёздной пыли, неподвижное относительно Ярослава. Ярослав обнаружил, что скорость аппарата (относительно облака) через каждый километр пути уменьшается в три раза.
(1 балл) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 3 км/с. Какой будет скорость аппарата относительно Ярослава после пролёта 1 км пути внутри облака? Ответ представьте в км/с и округлите до второй значащей цифры.
(2 балла) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 0,9 км/с. Какой будет скорость аппарата относительно Ярослава после пролёта 2 км пути внутри облака? Ответ представьте в км/с и округлите до второй значащей цифры.
(3 балла) Ярослав запустил к облаку аппарат со скоростью 2,7 км/с. Через сколько километров пути внутри облака скорость аппарата относительно Ярослава станет равна 0,1 км/с? Ответ округлите до целых.
(4 балла) Ярослав, направившись к облаку со скоростью 0,3 км/с, запустил к облаку аппарат со скоростью 2,4 км/с (скорость считается относительно Ярослава). Через сколько километров пути внутри облака (путь считается относительно облака) скорость аппарата относительно Ярослава станет равной нулю? Ответ округлите до целых.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСкорость относительно облака убывает в одно и то же число раз на каждом километре. Для последнего пункта переведите скорости в систему отсчёта облака, а затем обратно.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 1 км/с; 2) 0,1 км/с; 3) 3 км; 4) 2 км.
Скорость как функция пути
5/10На графике представлена зависимость скорости автомобиля от пройденного пути.
Чему равна средняя путевая скорость к моменту, когда автомобиль проехал 12 км? Ответ выразите в км/ч, округлите до целого числа.
Найдите среднюю путевую скорость автомобиля по прошествии первой половины всего времени движения. Ответ выразите в км/ч, округлите до целого числа.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаСредняя путевая скорость — это весь путь, делённый на всё время. Время на каждом участке с постоянной скоростью равно длине участка, делённой на скорость; во втором пункте сначала найдите всё время движения.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) 80 км/ч; 2) 53 км/ч.
Диско-шар
6/10Диско-шар — это шар с зеркальной поверхностью, состоящей из сотен или тысяч граней, каждая из которых — маленькое плоское зеркало. Обычно он подвешивается на потолке к устройству, которое равномерно вращает его вокруг вертикальной оси. Когда шар освещается прожекторами, зрители видят многочисленные отблески («зайчики»), бегущие по полу, стенам и потолку помещения (фото ниже). Зеркальные шары приобрели популярность в период расцвета музыкального стиля диско, в конце 70-х годов 20 века, когда их стали устанавливать в залах дискотек и ночных клубов.
Пусть шар радиусом \(R\) вращается вокруг вертикальной оси, проходящей через его центр (т. \(A\), рис. ниже, вид сверху), совершая \(n\) оборотов в секунду. Расстояние от центра шара до вертикальной стены, совпадающей с горизонтальной осью \(0X\) на рисунке, равно \(H\), при этом \(H \gg R\). Шар освещается пучком параллельных лучей, который формируется прожектором, расположенным на стене на той же высоте, что и центр шара. Лучи света от прожектора идут перпендикулярно стене, поперечный размер пучка равен \(2d\).
Рассмотрим «зайчики», бегущие по стене на той же высоте, что и прожектор.
Чему равно максимальное значение координаты зайчика \(x_{\max}\)?
Определите скорость \(v(x)\) движения «зайчика», проходящего точку с координатой \(x\).
Пусть одинаковые маленькие плоские зеркала, покрывающие поверхность шара, имеют форму квадратиков с длиной стороны \(a\) (\(a \ll R\)). Пусть пучок света прожектора, падающий на шар, имеет небольшую расходимость (рис. выше), определяемую углом \(2\varphi\) (\(\varphi \ll 1\), см. Указание). Оцените максимальное значение угла \(\varphi\), при котором хотя бы в некоторых точках стены можно будет различить отдельные «зайчики».
Указание. При решении задач 1 и 5 могут оказаться полезными следующие приближённые соотношения для тригонометрических функций малых углов \(\alpha\) (\(\alpha \ll 1\), \([\alpha] =\) рад): \(\sin\alpha \approx \alpha\), \(\cos\alpha \approx 1\), \(\operatorname{tg}\alpha \approx \alpha\).
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаЗеркальце, повернувшееся на угол \(\beta\), поворачивает отражённый луч на \(2\beta\). Крайний луч пучка падает на шар под углом, синус которого равен \(d/R\); скорость зайчика связана со скоростью поворота луча и расстоянием до стены.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(x_{\max} = 2dH\,\dfrac{\sqrt{R^2-d^2}}{R^2-2d^2} \approx \dfrac{2dH}{R}\); 2) \(v(x) = 4\pi H n\left(1 + \dfrac{x^2}{H^2}\right) \approx 4\pi H n\); 3) в формулировке части C допущена ошибка (см. критерии организаторов: за часть C всем, приступившим к решению, засчитывается 2 балла, а вся задача оценивается в 8 баллов).
Всё меняется
6/10Небольшое тело движется вдоль прямой из состояния покоя. Зависимость ускорения тела от его скорости \(a(v)\) показана на рис. ниже.
Исследуйте зависимость обратного ускорения от скорости \(a^{-1}(v)\) и найдите время \(t\), за которое скорость тела увеличивается от 0 до 4 м/c. В ответе укажите номер столбца таблицы, в котором стоит значение, наиболее близкое к найденному вами.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаИз \(a = dv/dt\) следует \(dt = a^{-1}\,dv\): искомое время равно площади под графиком \(a^{-1}(v)\). Постройте этот график по точкам и найдите площадь.
▶ОтветСкрыть: ответ
ОтветНомер столбца 3 (\(t \approx 12\) с).
Спортсмен с допингом
3/10Скорость растёт ступенями на 1,8 м/с каждую секунду; суммируя пути за секунды (арифметическая прогрессия), находят время на сотню метров и сравнивают с равномерным бегом.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Скорость по графику ускорения
3/10Ускорение задано графиком с линейным спадом; проекция скорости в нужный момент равна площади под графиком. (варианты с разными числами)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Средняя скорость
3/10По графику пути без подписей осей: касательные из начала координат дают наибольшую и наименьшую среднюю скорость, по ним и по скорости за последний час восстанавливаются масштабы осей, затем считаются скорости на участках и средняя скорость на половине пути.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Машинка на трассе
3/10По графику зависимости скорости от пути (ступенчатому) находим время на каждом участке, полное время, среднюю скорость и путь за вторую половину времени движения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Разгон автомобиля по графику скорости
4/10По касательной к графику v(t) найти ускорение, затем силу тяги при силе сопротивления, пропорциональной скорости (у мотоцикла — при постоянной мощности), и мощность на ведущих колёсах; точность ответа около 10% (варианты 1–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Винт модели вертолёта раскручивается
4/10Скорость концов лопастей растёт линейно; по двум последовательным углам поворота и временам находится тангенциальное ускорение и число оборотов до заданной скорости (варианты 3–4).
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Разгон поезда
5/10Электричка равноускоренно проходит два соседних одинаковых участка; средние скорости на них 20 и 30 км/ч, найти мгновенную скорость на границе — через равенство длин участков и формулы равноускоренного движения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Лазер в сосуде
5/10Вращающийся лазер на стенке цилиндра с водой: по закону Снелла лучи перестают выходить при полном внутреннем отражении, найти время; скорость «зайчика» на зачернённой стенке через угловую скорость луча и геометрию.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Тень от головы мальчика
5/10Из подобия треугольников координата тени головы выражается через положение мальчика; скорость тени — производная этой зависимости по времени в заданный момент.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Груз, подтягиваемый тросом через блок
5/10Трос тянется с постоянной скоростью V0, груз движется по горизонтали; по заданным синусам углов найти скорость груза (V0/cos), работу лебёдки (изменение кинетической энергии) и время перехода между точками. (варианты 5–8)
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
«Миллиавтомобиль»
6/10Источник на крыше машинки движется по оси линзы так, что изображение имеет постоянную скорость v0; из продольного увеличения найти скорость и ускорение машинки и по пределу трения указать допустимые расстояния до линзы.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Колечко на двух шарнирных стержнях
6/10Колечко движется равномерно по прямой и скользит по двум стержням с шарнирами на полу и потолке; угловые скорости стержней — производные arctg(vt/…) по времени в момент AK = AB.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Муравей на вращающемся стержне
6/10Муравей ползёт с постоянной скоростью по равномерно вращающемуся стержню; скорость и ускорение в базисе радиальный/поперечный (в том числе кориолисова добавка 2V0ω), радиус кривизны спирали — из нормальной компоненты ускорения.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.
Поворачивающаяся линза
7/10Источник на оси на расстоянии 2F от поворачивающейся линзы; по формуле линзы для смещённого положения и вращению с угловой скоростью находится скорость изображения в заданный момент.
Полный текст условия и решения набирается — скоро появится прямо здесь.