Ускорение зависит от скорости

Представьте время как сумму малых интервалов \(\Delta t = \Delta v / a\) и сведите ее к площади под графиком некоторой функции от скорости.

При прямолинейном движении мгновенное ускорение определяется как \(a = \Delta v/\Delta t\), поэтому изменение скорости за малый интервал времени \(\Delta t\) равно \(\Delta v = a\,\Delta t\). Суммируя по всем малым интервалам, получаем \[\sum_n \frac{\Delta v_n}{a_n} = \sum_n \Delta t_n,\] где \(a_n\) — ускорение тела внутри малого интервала \(\Delta t_n\). Подставляя зависимость ускорения от скорости, \[\frac{1}{a_0 v_0}\sum_n \Delta v_n\,(v_n + v_0) = \sum_n \Delta t_n,\] где \(v_n\) — значение скорости внутри \(n\)-го интервала. Правая часть дает время \(\tau\), в которое скорость станет равна \(2v_0\). Левая часть есть площадь под графиком функции \(f(v) = v + v_0\) на отрезке от \(0\) до \(2v_0\) (см. рисунок):

Площадь трапеции с основаниями \(v_0\) и \(3v_0\) и высотой \(2v_0\) равна \(4v_0^2\), поэтому \[\tau = \frac{4v_0^2}{a_0 v_0} = \frac{4v_0}{a_0}.\]