Треугольник на шарнире

Момент искомой силы относительно шарнира должен уравновесить момент силы тяжести. При каком направлении и точке приложения плечо силы максимально?

Чтобы треугольник был в равновесии, момент искомой силы \(\vec F\) относительно шарнира должен быть равен по величине моменту силы тяжести. Поэтому сила \(F\) будет минимальна, если будет максимальным ее плечо относительно шарнира. Следовательно, внешнюю силу нужно приложить к точке треугольника, максимально удаленной от шарнира, и направить перпендикулярно отрезку, соединяющему эту точку с шарниром. То есть внешняя сила \(\vec F\) приложена к вершине угла \(\pi/2 - \alpha\) и направлена перпендикулярно гипотенузе (см. рисунок).

Пусть длина меньшего катета треугольника равна \(a\). Тогда длина большего катета — \(2a\), а длина гипотенузы — \(\sqrt5 a\). Момент силы \(\vec F\) относительно шарнира \(M_F = \sqrt5\,Fa\). Центр тяжести треугольника находится в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2 : 1, поэтому плечо силы тяжести относительно шарнира равно двум третьим горизонтального катета: \(M_{mg} = \frac23 mg\cdot 2a = \frac43 mga\). Условие моментов дает \[\sqrt5\,Fa = \frac43\,mga \quad\Rightarrow\quad F = \frac{4}{3\sqrt5}\,mg.\]