Индуктивность и сверхпроводящий виток

Поток через грани куба суммарно равен нулю. Сверхпроводящий виток сохраняет полный поток через себя, поэтому в нем индуцируется ток, компенсирующий внешний поток.

Пропустим через первый виток ток \(I\). Тогда поток магнитного поля через него \(\Phi = LI\). Поскольку магнитных зарядов не существует, суммарный поток через любую замкнутую поверхность, в состав которой входит наш виток (в частности, через куб, для которого рассматриваемый виток является одной гранью), равен нулю. Поэтому \[\Phi = 4\Phi_{12} + \Phi_{16},\] где \(\Phi_{12}\) — поток через соседнюю грань куба, \(\Phi_{16}\) — поток через противоположную грань. Поскольку поток через сверхпроводящий виток должен быть равен нулю, при его поднесении в нем индуцируется ток \(I_1\), создающий точно такой же (но противоположный) поток через себя. Ток \(I_1\) создает магнитный поток через основной виток, во столько же раз меньший потока \(\Phi\), во сколько ток \(I_1\) меньше тока \(I\). Поэтому поток через основной виток \[\Phi - \frac{I_1}{I}\Phi_{12} = \Phi\left(1 - \frac{\Phi_{12}^2}{\Phi^2}\right). \qquad (3)\] С другой стороны, этот поток по определению равен \(L_1 I\). Отсюда \[\frac{\Phi_{12}}{\Phi} = \sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}. \qquad (4)\] В результате из формулы \((2)\) находим \[\Phi_{16} = \Phi\left(1 - 4\sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}\right). \qquad (5)\] Если теперь убрать боковой виток и разместить сверхпроводящий виток на противоположной грани куба, то в нем возникнет ток \(I_2\), который компенсирует поток \(\Phi_{16}\) через себя, а через основной виток создаст поток, во столько же раз меньший \(\Phi_{16}\), во сколько \(I_2\) меньше \(I\). Поэтому поток через основной виток \[\Phi_2 = \Phi\left(1 - \frac{\Phi_{16}^2}{\Phi^2}\right). \qquad (6)\] Этот поток по определению равен \(L_2 I\), поэтому \[L_2 = L\left[1 - \left(1 - 4\sqrt{1 - \frac{L_1}{L}}\right)^2\right].\]