Поршень с чашкой в сосуде

Закон сохранения энергии (работа силы тяжести идет на внутреннюю энергию газа), условие равновесия поршня и равенство внутренних энергий газа над и под поршнем.

Поскольку поршень хорошо проводит тепло, температура газа в отсеках одинакова. После того как на чашку положили тело, тело вместе с поршнем опустилось вниз, и потенциальная энергия тела перешла во внутреннюю энергию газа. Поэтому, если поршень опустился на величину \(\Delta x\), закон сохранения энергии дает \[mg\,\Delta x = \frac32 p_{\text{в}} S(l + \Delta x) + \frac32 p_{\text{н}} S(l - \Delta x) - \frac32\cdot 2p_0 S l, \qquad (*)\] где \(2l = h\) — длина сосуда, \(p_{\text{н}}\) и \(p_{\text{в}}\) — давления газа в верхней и нижней частях сосуда. Из условия равновесия поршня \[mg = (p_{\text{н}} - p_{\text{в}}) S. \qquad (**)\] Внутренние энергии газа над и под поршнем равны, поэтому \[p_{\text{в}}(l + \Delta x) = p_{\text{н}}(l - \Delta x). \qquad (***)\] Исключая давления из системы \((*)\)–\((***)\), получим уравнение \[5mg\,\Delta x^2 + 6p_0 S l\,\Delta x - 3mgl^2 = 0,\] откуда \[\Delta x = \frac{\sqrt{9p_0^2S^2 + 15m^2g^2} - 3p_0S}{5mg}\,l.\] При \(m \to \infty\) поршень не ляжет на дно сосуда, даже несмотря на бесконечную силу тяжести: большая масса дает большое смещение, сильный нагрев газа и рост разности давлений. Пренебрегая в этом случае величиной \(p_0 S\) по сравнению с \(mg\), получим \[\Delta x = \sqrt{\frac35}\,l.\]