Сосуды с поршнями, газ и пружина

Объём газа в конце равен начальному, значит процесс изохорный; давление газа определяется весом поршня (с телом).

В равновесии давления газа слева и справа от поршня равны. Запишите уравнение состояния для каждой части и учтите, что количества газа одинаковы.

Поршень подвижен без трения, поэтому давления в обеих частях всегда равны. Запишите уравнение состояния для каждой части в начале и в конце, учтите, что количество газа в каждой части не меняется.

\(n = 2{,}25\).

Выясните, какой процесс идёт с газом: из равновесия нижнего поршня найдите давление газа. Куда смещается нижний поршень, если верхний удерживается пружиной?

4

Разность давлений под и над поршнем уравновешивает его вес; выразите давления через уравнение состояния и высоту поршня.

\(2\) м.

Пока поршень поднимается, часть воды вытекает через край, так что давление газа меняется. Запишите давление газа в двух состояниях через вес оставшейся воды и примените уравнение состояния газа.

\(S = \dfrac{mg}{p_0\left(2\dfrac{T_1}{T_2} - 1\right)} = 2\cdot 10^{-4}\text{ м}^2 = 2\text{ см}^2\);  \(H = \dfrac{4p_0}{3\rho g}\left(2\dfrac{T_1}{T_2} - 1\right) \approx 6{,}7\text{ м}\).

Куда уходит энергия газа? Свяжите работу газа с энергией сжатой пружины и выразите её через конечные давление и объём.

Температура уменьшится: \(T_2/T_1 = 6/7\);  давление: \(p_2/p_1 = 3/7\).

Запишем первое начало термодинамики: \[Q = \Delta U + A \quad\Longrightarrow\quad 0 = c_V (T_2 - T_1) + \frac{kx^2}{2},\] где \(c_V = \dfrac{3}{2}R\), \(T_2\) "— конечная температура, \(T_1\) "— начальная температура, \(x\) "— деформация пружины в конечном состоянии, \(k\) "— жёсткость пружины.

Поршень в конечном состоянии находится в равновесии, следовательно, \(p_2 S = kx\), где \(p_2\) "— давление газа в конечном состоянии, \(S\) "— площадь поршня.

Преобразуем данное уравнение: \[p_2 S = kx \Rightarrow p_2 S x = kx^2 \Rightarrow \frac{p_2 \Delta V}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_1}{2} = \frac{kx^2}{2} \Rightarrow \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{kx^2}{2},\] где \(\Delta V\) "— изменение объёма, \(V_1\) "— начальный объём газа, \(V_2\) "— конечный объём газа.

Из уравнения состояния следует: \[\frac{kx^2}{2} = \frac{p_2 V_2}{4} = \frac{RT_2}{4}.\] Следовательно, \[0 = \frac{3}{2}R(T_2 - T_1) + \frac{RT_2}{4} \;\Longrightarrow\; \frac{T_2}{T_1} = \frac{6}{7} \;\Longrightarrow\; \frac{p_2}{p_1} = \frac{T_2}{V_2}\cdot\frac{V_1}{T_1} = \frac{3}{7}.\]

Условие равновесия поршня — квадратное уравнение относительно \(x\); сравните, как растут с \(x\) давление газа (закон Бойля — Мариотта) и давление ртути, чтобы понять, какое из положений равновесия устойчиво. Поршень срывается к упорам, когда два положения равновесия сливаются (касание графиков).

1) \(h_1 = \dfrac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} - h_0 = 380\) мм;  2) \(x_1 = L - h_0 - h_1 = 1900\) мм;  3) \(x_2 = \dfrac{L - h_0 + \sqrt{(L + h_0)^2 - 4(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}}{2} = 1520\) мм;  4) \(h_2 = 2\sqrt{(h_0 + h_{max} + x'_{max})(L - x'_{max})} - (L + h_0) \approx 1007\) мм.

1. Пусть \(\Delta p\) — отличие давления воздуха под поршнем от атмосферного в начале процесса. Поршень придёт в движение, когда давление ртути на поршень сравняется с избыточным давлением воздуха под поршнем, откуда: \[p_0 + \rho gh_1 = p_0 + \Delta p \implies h_1 = \frac{\Delta p}{\rho g}.\] Температура воздуха под поршнем может считаться постоянной. Поскольку нижняя часть трубы закрыта, количество воздуха под поршнем также будет оставаться постоянным. Тогда, если давление воздуха под поршнем обозначить за \(p_\text{в}\), его зависимость от \(x\) определяется законом Бойля–Мариотта: \[p_\text{в}V = \mathrm{const} \implies p_\text{в} = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] Пусть уровень ртути в сосуде равен \(h\). Тогда давление \(p_\text{р}\) ртути на поршень составляет: \[p_\text{р} = p_0 + \rho g(h + x).\] В положении равновесия давление воздуха под поршнем равно давлению ртути на поршень, поэтому: \[p_0 + \rho g(x + h) = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] Когда уровень ртути в сосуде достигает максимального значения \(h_{max}\), величина \(x = x_{max}\), получаем: \[\frac{\Delta p}{\rho g} = h_1 = \left(\frac{p_0}{\rho g} + x_{max} + h_{max}\right)\left(1 - \frac{x_{max}}{L}\right) - \frac{p_0}{\rho g},\] или с учётом \(p_0/(\rho g) = h_0\): \[h_1 = \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} - h_0 = 380\text{ мм}.\]

2. Перепишем условие равновесия поршня в следующем виде: \[(h_0 + h + x)(L - x) = (h_0 + h_1)L.\] Раскроем скобки и получим: \[x^2 - (L - h_0 - h)x + (h_1 - h)L = 0.\] Обратим внимание, что при \(h > h_1\) свободный член полученного квадратного уравнения является отрицательным, что следует из теоремы Виета, а значит уравнение имеет ровно один положительный корень. Тогда, поскольку нахождение поршня выше упоров не является возможным, при \(h > h_1\) поршень имеет единственное положение равновесия. Так как \(\Delta h \ll h_1\), свободный член можно принять равным нулю. Сокращая решение \(x = 0\), получим: \[x_1 = L - h_0 - h_1,\] или же: \[x_1 = L - \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} = 1900\text{ мм}.\]

3. После того, как уровень ртути в сосуде окажется ниже верхней части трубы, положение равновесия поршня перестанет изменяться. Решим квадратное уравнение, получаемое из условия равновесия поршня, при \(h = 0\): \[x_{2(1,2)} = \frac{L - h_0 \pm \sqrt{(L - h_0)^2 - 4Lh_1}}{2} = 0{,}76\text{ м},\ 1{,}52\text{ м}.\] Таким образом, когда уровень ртути в сосуде понизится до практически нулевого, поршень имеет два положения равновесия и расположится в том из них, которое является устойчивым. Проанализируем оба найденных положения равновесия поршня на устойчивость.

Положение равновесия поршня является устойчивым, если при повышении расстояния между ним и упорами давление воздуха под поршнем становится выше, чем давление ртути на поршень. Если расстояние между поршнем и упорами увеличилось на малую величину \(\Delta x\), то условия устойчивости положения равновесия поршня можно записать следующим образом: \[p_0 + \rho g(h + x + \Delta x) < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x}.\] Используя условие равновесия, получим: \[\rho g\Delta x < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x} - \bigl(p_0 + \rho g(h + x)\bigr) = \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x - \Delta x} - \frac{(p_0 + \Delta p)L}{L - x}.\] С учётом малости \(\Delta x\) имеем: \[\rho g\Delta x < \frac{(p_0 + \Delta p)L\Delta x}{(L - x - \Delta x)(L - x)} \approx \frac{(p_0 + \Delta p)L\Delta x}{(L - x)^2} \implies \rho g < \frac{(p_0 + \Delta p)L}{(L - x)^2}.\] Определим значения \(x\), при которых положения равновесия поршня является устойчивым: \[L > x > L - \sqrt{\frac{(p_0 + \Delta p)L}{\rho g}} = L - \sqrt{(h_0 + h_1)L} = x_\text{кр} \approx 1178\text{ мм}.\] Таким образом, положение равновесия \(x_{2(1)} = 760\) мм является неустойчивым, а \(x_{2(2)} = 1520\) мм — устойчивым. Отметим, что при \(h = 0\) положение \(x = 0\) также является положением равновесия, поскольку для данного положения давление воздуха под поршнем будет выше, чем давление ртути на поршень, равное атмосферному. Однако, пока поршень не окажется на расстоянии \(x = x_\text{кр}\) от упоров, он всегда будет располагаться в устойчивом положении равновесия. При этом величина \(x\) монотонно возрастает с увеличением уровня \(h\) ртути в сосуде. Поскольку найденная при \(h = 0\) величина \(x_{2(2)} > x_\text{кр}\), то поршень в процессе понижения уровня ртути в сосуде всегда расположен в положении устойчивого равновесия и не может его покинуть. Таким образом, конечному положению поршня соответствует следующая величина \(x_2\): \[x_2 = \frac{L - h_0 + \sqrt{(L + h_0)^2 - 4(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}}{2} = 1520\text{ мм}.\]

Примечание: Исследование на устойчивость положений равновесия поршня можно осуществить не только аналитически, но и графически. Для это построим график зависимости \(p_\text{в}(x)\) (чёрная линия на рис.), а поверх него — прямые \(p_\text{р}(x)\) при различных значениях \(h\), где давления измеряются в миллиметрах ртутного столба. Точки пересечения графиков функций \(p_\text{в}(x)\) и \(p_\text{р}(x)\) соответствуют положениям равновесия поршня. Если вблизи точки пересечения с увеличением \(x\) функция \(p_\text{в}(x)\) возрастает на большую величину, чем функция \(p_\text{р}(x)\), то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена противоположно смещению поршня, и, следовательно, положения равновесия будет являться устойчивым. Если же вблизи точки пересечения с увеличением \(x\) функция \(p_\text{в}(x)\) возрастает на меньшую величину, чем функция \(p_\text{р}(x)\), то при малом смещении поршня равнодействующая приложенных к нему сил будет направлена вдоль смещения поршня, и, следовательно, положение равновесия поршня будет являться неустойчивым. Из рисунка видно, что при \(h > h_1\) все положения равновесия поршня являются устойчивыми, а положение равновесия \(x = 0\) при \(h = h_1\) является неустойчивым. Если мы рассмотрим случай \(h = 0\) (красная прямая на графике), то точка пересечения \(x_{2(1)} = 760\) мм соответствует неустойчивому, а \(x_{2(2)} = 1520\) мм — устойчивому положению равновесия.

4. Используя результаты решения первого пункта, определим величину \(h_1\), при которой поршень приходит в движение:

\[h_1 = \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} - h_0 = 1140\text{ мм}.\] Запишем условие равновесия поршня: \[x^2 - x(L - h_0 - h) + L(h_1 - h) = 0.\] Решению \(x = 0\) соответствует величина \(h = h_1\). Однако при решении второго пункта мы получали, что при \(h = h_1\) у поршня существует второе положение равновесия на расстоянии \(x_1\) от упоров, равном: \[x_1 = L - \frac{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})}{L} = 1140\text{ мм}.\] Данное положение является устойчивым, что можно показать, используя критерий устойчивости положения равновесия, полученный при решении четвёртого пункта:

\[x > L - \sqrt{(h_0 + h_1)L} = x_\text{кр} \approx 637\text{ мм}.\] Данное условие выполнено при \(x = x_1\), поэтому в процессе понижения уровня ртути в сосуде поршень не достигает упоров при \(h = h_1\).

При последующем понижении уровня ртути в сосуде у поршня есть два положения равновесия, одно из которых является устойчивым, а другое — неустойчивым. Пока расстояние \(x\) между поршнем и упорами удовлетворяет условию \(x > x_\text{кр}\), поршень располагается в положении устойчивого равновесия. Когда расстояние между поршнем и упорами станет равны \(x = x_\text{кр}\), два положения равновесия поршня, одно из которых является устойчивым, а второе — неустойчивым, совпадут и станут единым положением неустойчивого равновесия по отношению к смещению в сторону упоров. Данное положение соответствует касанию на графиков зависимостей \(p_\text{в}(x)\) и \(p_\text{р}(x)\), приведённых в примечании к решению четвёртого пункта задачи. Из этого же графика видна неустойчивость данного положения равновесия поршня по отношению к смещению в сторону упоров.

Таким образом, если при некотором значении \(h = h_2\) поршень оказывается в положении \(x = x_\text{кр}\), то при данном значении \(h\) во всех положениях, кроме \(x = x_\text{кр}\), давление воздуха под поршнем будет больше, чем давление ртути на поршень (см. рис. ниже), поэтому поршень скачкообразно переместится в сторону упоров и при дальнейшем понижении уровня ртути в сосуде от них не оторвётся.

Учтём, что касание графиков соответствует наличию единственного корня у квадратного уравнения, получаемого из условия равновесия поршня. Воспользуемся теоремой Виета: \[2x_\text{кр} = L - h_0 - h_2.\] После подстановки \(h_1\) в выражение для \(x_\text{кр}\) находим: \[h_2 = 2\sqrt{(h_0 + h_{max} + x_{max})(L - x_{max})} - (L + h_0) \approx 1007\text{ мм}.\]

Поршень лёгкий, поэтому давление газа сверху и снизу одинаково, а температура постоянна. Запишите, куда девается газ из нижней части: он растворяется в поступившей воде. Подумайте, что изменится, когда весь газ под поршнем растворится.

1) вниз, \(v_\text{п} = \dfrac{q}{2S}\left(\dfrac{kRT_0}{M} - 1\right) \approx 0{,}01\) см/с;  2) \(t_1 \approx 1250\) с;  3) \(P_{min} \approx 132\) кПа;  4) \(t_2 = 2640\) с;  5) ломаная из двух отрезков через точки \((0\text{ с};\ 6{,}6\text{ л})\), \((1250\text{ с};\ 8{,}2\text{ л})\), \((2640\text{ с};\ 2{,}64\text{ л})\).

Пусть \(V_\text{в}\) — объём верхней части сосуда, \(V_1\) и \(V_2\) — объёмы газа и, соответственно, газированной воды в нижней части сосуда. Так как вода поступает с постоянной скоростью, а суммарный объём сосуда равен \(2V_0\), то \[V_2 = qt, \qquad V_1 = 2V_0 - V_\text{в} - qt.\] Рассмотрим случай, когда вода ещё не заполнила всю нижнюю часть сосуда (\(V_1 > 0\)). Поршень, разделяющий сосуд, лёгкий и двигается без трения, поэтому давление углекислого газа \(P\) по обе стороны от него одинаково. Масса \(CO_2\), растворённого в воде, согласно закону Генри равна \[m_2 = \mu_\text{р} V_2 = kPV_2 = kPqt.\] В начальный момент массы газа в верхней и нижней частях сосуда равны, следовательно в некоторый момент \(t\) масса газа под поршнем \[m_1 = m_\text{в} - m_2 = m_\text{в} - kPqt, \tag{*}\] где \(m_\text{в}\) — масса углекислого газа в верхней части сосуда. Запишем теперь уравнения Менделеева–Клапейрона для газа, находящегося по обе стороны от поршня, и, выражая оттуда массы, подставим их в уравнение \((*)\) \[\begin{gather*} \begin{cases} PV_\text{в} = m_\text{в} RT_0/M,\\ PV_1 = m_1 RT_0/M \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \frac{PV_1 M}{RT_0} = \frac{PV_\text{в} M}{RT_0} - kPqt \quad\Rightarrow\\ \Rightarrow\quad V_1 = V_\text{в} - \frac{kRT_0}{M}\cdot qt. \end{gather*}\] Отсюда, решая систему, найдём, что \[V_\text{в} = V_0 + \frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M} - 1\right), \qquad V_1 = V_0 - \frac{qt}{2}\left(\frac{kRT_0}{M} + 1\right). \tag{**}\] Поскольку \[\frac{kRT_0}{M} = \frac{3{,}17\cdot10^{-5}\cdot 8{,}31\cdot 274}{0{,}044} \approx 1{,}64 > 1,\] то из первого выражения в \((**)\) следует, что \(V_\text{в}\) увеличивается с постоянной скоростью, а поршень двигается вниз. Скорость его движения равна \[v_\text{п} = \frac{\Delta V_\text{в}}{S\Delta t} = \frac{q}{2S}\left(\frac{kRT_0}{M} - 1\right) = \frac{4\text{ см}^3/\text{с}}{256\text{ см}^2}\,(1{,}64 - 1) \approx 0{,}01\text{ см/с}.\]

Из второго выражения в \((**)\) следует, что объём газа над поверхностью воды в нижней части сосуда непрерывно уменьшается и в момент времени \[t_1 = \frac{2V_0}{q(kRT_0/M + 1)} = \frac{2\cdot 6{,}6\text{ л}}{0{,}004\text{ л/с}\cdot(1{,}64 + 1)} \approx 1250\text{ с}\] становится нулевым, весь газ оказывается растворенным в жидкости, а жидкость упирается в поршень. В дальнейшем поступающая вода будет поднимать поршень, а объём газа в верхней части сосуда станет уменьшаться. Процесс, происходящий с газом над поршнем, изотермический, поэтому минимальное давление \(P_{min}\) достигается при максимальном \(V_\text{в}\), то есть через время \(t = t_1\) после включения насоса.

Максимальный объём верхней части сосуда достигается в момент времени \(t_1\). Найдем этот объем, подставив выражение для \(t_1\) в первую формулу \((**)\): \[V_{\text{в}\,max} = 2V_0\cdot\frac{kRT_0/M}{kRT_0/M + 1} \approx 8{,}2\text{ л}.\] Давление газа над поршнем в этот момент, согласно закону Бойля–Мариотта, равно \[P_{min} = \frac{P_0 V_0}{V_{\text{в}\,max}} \approx 132\text{ кПа}.\]

В момент выключения насоса давление газа над поршнем равно \(P_\text{кр}\), а объём верхней части сосуда составляет \[V_{\text{в}\,\text{кр}} = \frac{P_0 V_0}{P_\text{кр}} = \frac{2V_0}{5} = 2{,}64\text{ л}.\] Объём остальной части сосуда, заполненной водой, равен \[V_{2\,\text{кр}} = 2V_0 - V_{\text{в}\,\text{кр}} = \frac{8V_0}{5}.\] Отсюда получим, что время работы насоса \[t_2 = \frac{V_{2\,\text{кр}}}{q} = \frac{8V_0}{5q} = 2640\text{ с}.\]

Исходя из результатов, полученных в предыдущих пунктах, график зависимости \(V_\text{в}(t)\) имеет вид ломаной, состоящей из двух прямолинейных участков. Вершина ломаной находится в точке с координатами \((t_1;\ V_{\text{в}\,max})\), а её концы — в точках \((0;\ V_0)\) и \((t_2;\ V_{\text{в}\,\text{кр}})\). Построим график функции \(V_\text{в}(t)\), отметив на нём характерные точки.

Процесс изотермический. На сколько изменилось давление и чем оно создано?

24

Давление газа постоянно, поэтому работа газа и изменение внутренней энергии выражаются через одно и то же изменение температуры; примените первое начало термодинамики.

1) 25 см;  2) 60 Дж;  3) \(4{,}8\) К.

Газ действует на поршни равными по модулю силами, направленными в противоположные стороны. Подумайте, как при этом движется центр масс системы двух поршней.

\(h = 3H + L - \dfrac{3gt^2}{2}\).

Воздух в баке подчиняется уравнению состояния газа постоянной массы; перегородка выравнивает давления воздуха и воды. Объём воздуха уменьшается ровно на объём воды, перетёкшей в бак.

1) \(p_0 = 270\) кПа;  2) \(V = 13{,}2\) л.

Давление газа под поршнем постоянно. Учтите, что при диссоциации энергия связи переходит в энергию теплового движения атомов с обратным знаком, а температура остаётся равной \(T_0\).

1) 4 (\(V = 2\) л);  2) 4 (\(Q = 250\) Дж).

После полной диссоциации двухатомного газа количество вещества в сосуде увеличится в два раза, следовательно при постоянном давлении в два раза увеличится объём. Выбрать следует столбец номер 4.

Потенциальная энергия химической связи в двухатомной молекуле меньше нуля и по абсолютной величине равна \(W_0\), поэтому после диссоциации одной двухатомной молекулы суммарная энергия двух атомов оказывается больше энергии молекулы на величину \(\Delta E\), удовлетворяющую соотношению \[\Delta E = 2\cdot\frac{3kT_0}{2} - \frac{5kT_0}{2} + W_0 = \frac{3kT_0}{2}.\] Таким образом, изменение внутренней энергии газа в сосуде после полной диссоциации молекул на атомы оказывается равно \(\Delta U = \dfrac32 \nu R T_0\), где \(\nu\) — начальное количество двухатомного газа. Учитывая, что газ также совершает работу, равную \(A = p_0 V_0\), для количества теплоты из первого начала термодинамики имеем равенство \[Q = \frac32 \nu R T_0 + p_0 V_0 = \frac52 p_0 V_0 = 250\text{ Дж}.\] Численный ответ совпадает со значением, стоящим в столбце номер 4.

Сила давления газа на поршень уравновешена разностью веса поршня и силы пружины, поэтому давление линейно зависит от высоты поршня. Выразите \(pV\) через \(l\) и примените первое начало термодинамики.

1) \(\Delta T = 250\) К;  2) 4.

Сосуд изолирован и внешних сил нет, поэтому сохраняются импульс и энергия. Какая часть кинетической энергии сохранится в системе центра масс после затухания колебаний, а какая перейдёт в тепло?

Поршень подвижен, поэтому давления в обеих частях всегда одинаковы. Запишите уравнение состояния для каждой части и учтите, что полный объём сосуда не меняется.

\(\dfrac{\nu_1}{\nu_2} = \dfrac{\alpha}{1-\alpha} = 1\).

Поршень лёгкий, поэтому давление газа равно давлению паров; для газа запишите уравнение состояния при известной линейной зависимости длины его части от \(T\).

Процесс изотермический: найдите жёсткость «газовой пружины», линеаризовав зависимость силы давления от смещения поршня вблизи равновесия.

\(99\) (сотых долей секунды).

Давления по обе стороны лёгкого поршня одинаковы. Запишите первое начало термодинамики для каждого отсека за малое время и исключите температуры через уравнение Менделеева–Клапейрона; сумма и разность полученных уравнений связывают \(\Delta p\) и \(\Delta V\) с мощностями.

1) \(v_0 = \dfrac{q_1 + q_2}{5p_0S}\);  2) \(v = \dfrac{2q}{5p_0S}\) (скорость постоянна);  3) \(q_2/q_1 = 1/3\).

1. По условию поршень легкий и перемещается в сосуде без трения. Следовательно, в любой момент времени давление газа по обе стороны от поршня одинаково. Для объёмов отсеков \(V_1\) и \(V_2\) справедливо равенство \(V_1 + V_2 = 2V_0\), где \(V_0\) — начальный объём отсека. Рассмотрим процесс, происходящий с газом за малый промежуток времени \(\Delta t\), и запишем первое начало термодинамики для каждого отсека: \[\begin{cases} q_1\Delta t = \frac32\nu_1R\Delta T_1 + p\Delta V,\\ -q_2\Delta t = \frac32\nu_2R\Delta T_2 - p\Delta V. \end{cases}\] Запишем для каждого отсека уравнение Менделеева–Клапейрона и выразим изменение температуры: \[\begin{cases} pV_1 = \nu_1RT_1,\\ pV_2 = \nu_2RT_2 \end{cases} \quad\Rightarrow\quad \begin{cases} \nu_1R\Delta T_1 = p\Delta V + V_1\Delta p,\\ \nu_2R\Delta T_2 = -p\Delta V + V_2\Delta p. \end{cases}\] Отсюда получим, что \[\begin{cases} q_1\Delta t = \frac32V_1\Delta p + \frac52p\Delta V,\\ -q_2\Delta t = \frac32V_2\Delta p - \frac52p\Delta V. \end{cases}\] Сложим и вычтем друг из друга записанные выше уравнения: \[\begin{cases} (q_1 - q_2)\Delta t = 3V_0\Delta p,\\ (q_1 + q_2)\Delta t = \frac32(V_1 - V_2)\Delta p + 5p\Delta V. \end{cases} \tag{*}\] Тогда для начального момента (\(p = p_0\), \(V_1 = V_2 = V_0\)) получим \((q_1 + q_2)\Delta t = 5p_0\Delta V\). Отсюда, учитывая, что \(\Delta V = Sv_0\Delta t\), найдём начальную скорость поршня \(v_0\): \[v_0 = \frac{q_1 + q_2}{5p_0S}.\]

2. Если \(q_1 = q_2 = q\), то задача упрощается, и из первого уравнения в (\(*\)) находим, что \(p = p_0 = \mathrm{const}\). Из второго уравнения в (\(*\)) получим \(2q\Delta t = 5p_0\Delta V\). Это означает, что скорость движения поршня постоянна и равна \(v = 2q/(5p_0S)\).

3. Если отношение объёмов \(V_1 : V_2 = 3 : 1\), то \(V_1 = 3V_0/2\), \(V_2 = V_0/2\). Поскольку поршень в этом пункте задачи неподвижен, объём обоих отсеков со временем не меняется. Перепишем уравнения (\(*\)), изменив знак у \(q_2\) и учитывая, что в каждом отсеке происходит изохорный процесс (\(\Delta V = 0\)): \[\begin{cases} (q_1 + q_2)\Delta t = 3V_0\Delta p,\\ (q_1 - q_2)\Delta t = \frac32V_0\Delta p. \end{cases}\] Из полученных уравнений следует, что \[\frac{q_1 + q_2}{q_1 - q_2} = 2 \quad\Rightarrow\quad \frac{q_2}{q_1} = \frac13.\]

Оба давления на поршень всё время равны. Подумайте, что тогда даёт первое начало термодинамики для всей системы и каким получается процесс в каждой части.

1) \(T = \dfrac{4}{3}T_0\);  2) \(\tau = \dfrac{5p_0V_0}{6\alpha T_0}\);  3) \(V_1(t) = \dfrac{2}{3}V_0 + \dfrac{1}{3}V_0 e^{-\lambda t}\), где \(\lambda = \dfrac{6\alpha T_0}{5p_0V_0}\).

а) Запишем уравнения состояния для начального момента времени: \[p_0V_0 = \nu_1R\cdot 2T_0, \qquad p_0V_0 = \nu_2R\cdot T_0.\] Отсюда получаем, что \(\nu_2 = 2\nu_1\).

Пусть в некоторый момент времени \(t\) температура в левой части цилиндра равна \(T_1\), а в правой – \(T_2\). Согласно первому началу термодинамики \[\frac{3}{2}\nu_1R(2T_0 - T_1) = \frac{3}{2}\nu_2R(T_2 - T_0), \tag{1}\] где \(T_1\) и \(T_2\) – температуры в левой и правой частях цилиндра в момент времени \(t\) соответственно.

В конце процесса теплообмена температуры в левой и правой частях уравняются. Тогда \(2T_0 - T = 2T - 2T_0\). Откуда получаем ответ на пункт а): \(T = \dfrac{4}{3}T_0\).

б) По условию задачи тепло передаётся медленно, значит, давления на поршень с двух сторон практически равны, то есть в любой момент времени \(p_1 = p_2\). Перепишем уравнение (1), воспользовавшись уравнением состояния: \[p_0V_0 - p_1V_1 = p_2V_2 - p_0V_0 \;\Longrightarrow\; p_1 = p_2 = p_0 .\] То есть процесс теплопередачи происходит изобарически, и молярная теплоёмкость равна \(c_p = \dfrac{5}{2}R\).

Пусть за малое время \(dt\) температуры частей цилиндра изменились на величины \(dT_1\) и \(dT_2\). Тогда \[\frac{5}{2}\nu_1R\,dT_1 = \alpha(T_2 - T_1)\,dt, \qquad \frac{5}{2}\nu_2R\,dT_2 = \alpha(T_1 - T_2)\,dt \;\Longrightarrow\; \frac{dT_1}{dt} = \frac{2\alpha(T_2 - T_1)}{5\nu_1R}, \quad \frac{dT_2}{dt} = \frac{2\alpha(T_1 - T_2)}{5\nu_2R}.\] Введём обозначение \(\Delta T = T_1 - T_2\). Вычтем из первого уравнения второе: \[\frac{d\Delta T}{dt} = -\frac{2\alpha}{5R}\left(\frac{1}{\nu_1} + \frac{1}{\nu_2}\right)\Delta T = -\frac{6\alpha T_0}{5p_0V_0}\,\Delta T .\] Решая это дифференциальное уравнение, получаем: \(\Delta T = T_0 e^{-\lambda t}\), где \(\lambda = \dfrac{6\alpha T_0}{5p_0V_0}\). Значит, время, в течение которого разность температур между частями цилиндра уменьшается в \(e\) раз по сравнению с начальной разностью температур \(T_0\), равно \(\tau = \dfrac{5p_0V_0}{6\alpha T_0}\).

в) Из уравнения \(T_1 - T_2 = T_0 e^{-\lambda t}\) и уравнения (1) следует: \[T_1(t) = \frac{4}{3}T_0 + \frac{2}{3}T_0 e^{-\lambda t}, \qquad T_2(t) = \frac{4}{3}T_0 - \frac{1}{3}T_0 e^{-\lambda t}.\] Так как процесс изобарический, следовательно, \(\dfrac{V_1(t)}{T_1(t)} = \dfrac{\nu_1R}{p_0}\). Откуда получаем окончательный ответ: \[V_1(t) = \frac{\nu_1R}{p_0}\left(\frac{4}{3}T_0 + \frac{2}{3}T_0 e^{-\lambda t}\right) = \frac{2}{3}V_0 + \frac{1}{3}V_0 e^{-\lambda t}.\]

До первой остановки газ сжимается адиабатически и обратимо (\(PV^{5/3} = \mathrm{const}\)), а механическая энергия поршня с гирей целиком уходит во внутреннюю энергию газа. В конце процесс необратим: адиабата уже не годится, но закон сохранения энергии вместе с условием равновесия поршня по-прежнему работает.

1) \(M = \left(3\left(2^{2/3} - 1\right) - 1\right)m \approx 76\) кг;  2) \(a_\text{max} = g\left(\dfrac{2^{5/3}m}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g = 8\text{ м/с}^2\);  3) \(v_\text{max} \approx \sqrt{0{,}14gh_0} \approx 1{,}2\) м/с;  4) \(h = \dfrac{5m + 2M}{5(M + m)}\,h_0 \approx 0{,}74\) м.

Так как поршень вначале находится в равновесии, то \(P_0S = mg\) или \(P_0V_0 = mgh_0\), где \(P_0\) и \(V_0\) — начальное давление и начальный объём газа соответственно, \(S\) — площадь внутреннего поперечного сечения сосуда.

При движении системы механическая энергия поршня с грузом передаётся только газу (поршень перемещается в сосуде практически без трения, снаружи вакуум), а газ не передаёт теплоту в окружающую среду (по условию). В этом случае первое начало термодинамики имеет вид: \[A_\text{внеш} = \Delta U,\] где \(\Delta U\) — изменение внутренней энергии газа, \(A_\text{внеш}\) — работа внешних сил над газом, равная убыли полной механической энергии поршня с грузом: \(A_\text{внеш} = -\Delta E\). В результате получаем: \[\Delta U + \Delta E = 0.\]

Согласно условию, при движении поршня от исходного положения до его первой остановки процессы в газе можно считать равновесными. Поэтому будем считать, что с газом происходит обратимый адиабатический процесс.

Для него справедливо уравнение Пуассона \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), где \(\gamma = 5/3\) для одноатомного идеального газа, \(P\) и \(V\) — давление и объём газа в некоторый произвольный момент времени. В нашем случае \(PV^{5/3} = P_0V_0^{\,5/3}\) или \[P = P_0\left(V_0/V\right)^{5/3} = P_0\left(h_0/h\right)^{5/3},\] \[PV = P_0V_0\left(V_0/V\right)^{2/3} = P_0V_0\left(h_0/h\right)^{2/3},\] где \(h\) — расстояние от поршня до дна сосуда в произвольный момент времени.

Рассмотрим момент времени, когда поршень находился в самой нижней точке на расстоянии \(h_\text{min}\) от дна сосуда. В этот момент скорость поршня с грузом равна нулю, т. е. \(\Delta E = (M + m)g(h_\text{min} - h_0)\).

Изменение внутренней энергии газа: \[\Delta U = \frac32\left(P_1V_1 - P_0V_0\right) = \frac32 P_0V_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) = \frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right),\] где \(P_1\) и \(V_1\) — давление и объём газа соответственно в рассматриваемый момент времени.

После объединения получаем: \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_\text{min}}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_\text{min}}{h_0} - 1\right) = 0.\] Подставляем \(\dfrac{h_0}{h_\text{min}} = 2\) и находим: \[M/m = 3\left(2^{2/3} - 1\right) - 1 \approx 0{,}762.\] \[M \approx 0{,}762m \approx 76\text{ кг}.\]

Будем рассматривать поршень с грузом как единое тело. Максимальный модуль ускорения поршня с грузом достигается, когда их скорость равна нулю, при этом суммарная внешняя сила — максимальна. Этим условиям удовлетворяют два положения поршня: начальное положение (сила тяжести больше силы давления газа на поршень) и нижнее положение (сила давления газа на поршень больше силы тяжести).

В начальный момент модуль ускорения поршня с грузом равен: \[a_0 = \frac{(M + m)g - P_0S}{M + m} = \frac{(M + m)g - mg}{M + m} = \frac{M}{M + m}\,g \approx 0{,}43g.\] В нижнем положении модуль ускорения поршня с грузом равен: \[\begin{gather*} a = \frac{P_0S\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3} - (M + m)g}{M + m} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) =\\ = g\left(\frac{2^{5/3}m}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g. \end{gather*}\] Выбираем максимальное значение: \[a_\text{max} = g\left(\frac{m\left(h_0/h_\text{min}\right)^{5/3}}{M + m} - 1\right) \approx 0{,}80g = 8\text{ м/с}^2.\]

Максимальной скорости поршень достигает на первом участке движения (от верхней точки до нижней). При максимальной скорости движения ускорение равно нулю, т. е. сила тяжести \((M + m)g\) равна силе давления газа \(P_2S\): \[(M + m)g = P_2S = P_0S\left(h_0/h_2\right)^{5/3} = mg\left(h_0/h_2\right)^{5/3},\] где \(h_2\) — расстояние от поршня до дна сосуда в указанный момент времени. Из полученного уравнения найдём \(h_2/h_0 = (M/m + 1)^{-3/5} \approx 0{,}712\).

Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) для газа записывается так: \[\frac32\left(P_2V_2 - P_0V_0\right) + (M + m)g(h_2 - h_0) + \left(\frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} - 0\right) = 0\] или \[\frac32 mgh_0\left(\left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3} - 1\right) + (M + m)gh_0\left(\frac{h_2}{h_0} - 1\right) + \frac{(M + m)v_\text{max}^2}{2} = 0,\] где \(P_2\) и \(V_2\) — давление и объём газа соответственно в момент прохождения поршнем положения равновесия. Откуда: \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} = \left(1 - \frac{h_2}{h_0}\right) + \frac{3m}{2(M + m)}\left(1 - \left(\frac{h_0}{h_2}\right)^{2/3}\right).\] Подставляем значение \(h_2/h_0\): \[\frac{v_\text{max}^2}{2gh_0} \approx 0{,}07,\] откуда получаем: \[v_\text{max} \approx \sqrt{0{,}14gh_0} \approx 1{,}2\text{ м/с}.\]

На длительном промежутке времени процессы, протекающие в газе, становятся необратимыми, т. е. механическая энергия необратимо переходит во внутреннюю энергию.

Уравнение адиабаты \(PV^\gamma = \mathrm{const}\), выведенное для обратимого процесса, в этом случае не применимо.

Запишем условие равновесия поршня с грузом: \(PS = (M + m)g\). Закон сохранения энергии (первое начало термодинамики) в этом случае имеет вид: \[\frac32\left(PSh - P_0V_0\right) + (M + m)g(h - h_0) = 0.\] Получаем: \[\frac32\left((M + m)gh - mgh_0\right) + (M + m)g\left(h - h_0\right) = 0.\] Находим новую высоту: \[h = \frac{5m + 2M}{5(M + m)}\,h_0 \approx 0{,}74h_0 = 0{,}74\text{ м}.\]

Давление слева и справа одинаково. Запишите уравнение состояния для левой части и адиабату для правой при малых изменениях, выразив через них \(\Delta p\) и \(\Delta V\).

\(k = \dfrac{\nu_1}{\nu_2} = \dfrac35\cdot\dfrac{\alpha}{1-\alpha} = \dfrac35 = 0{,}6\).

Как изменится суммарная внутренняя энергия газа? Как давление одноатомного газа связано с энергией единицы объёма?

\(\Delta x = \dfrac{2}{5}\,\dfrac{Q}{pS}\).

Из основного уравнения МКТ давление есть \(p = \dfrac{2}{3}\,n\bar w = \dfrac{2}{3}\,u\), где \(n\) — концентрация газа, \(\bar w\) — средняя кинетическая энергия одной частицы, \(u\) — плотность внутренней энергии газа (энергия единицы объёма). Заметим, что внутренняя энергия всего газа в ходе процесса не меняется, следовательно, процесс изобарический (так как \(u = \text{const}\)). Количество теплоты, подведённое газу, который расположен в левой части цилиндра, равно: \[Q = \frac{c_p}{R}\,pS\Delta x \quad\Longrightarrow\quad \Delta x = \frac{2}{5}\,\frac{Q}{pS},\] где \(\Delta x\) — искомое смещение поршня.

Давление газа постоянно, поэтому высота поршня пропорциональна температуре, а площадь боковой стенки — тоже. Получите из теплового баланса скорость поршня как функцию температуры газа и найдите её наибольшее значение на пути от начальной температуры до \(T_0\).

\(T_\text{Г} = \dfrac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_\text{Х}(T_0 - T_\text{Х})}}{2}\) при \(T_\text{Х} \geqslant T_0/2\);  \(T_\text{Г} = T_0\cdot\dfrac{1+\sqrt2}{2}\) при \(T_\text{Х} < T_0/2\).

Поскольку поршни лёгкие и могут перемещаться без трения, давление внутри и снаружи одинаковое (равно \(p_0\)). Объём газа под поршнем \(V = \pi r^2h\), где \(h\) — высота расположения поршня. Уравнение Менделеева–Клапейрона для газа внутри цилиндра \[p_0\pi r^2h = \nu RT.\] Для малых изменений высоты и температуры \[p_0\pi r^2\,dh = \nu R\,dT,\] где \(dh = v\,dt\).

Изменение температуры газа происходит изобарически. Уравнение теплового баланса для малого промежутка времени \(\alpha h2\pi r(T_0 - T)\,dt = \nu C_p\,dT\).

Из трёх записанных уравнений находим связь скорости и температуры: \[v = \frac{2\alpha\nu R^2}{\pi C_p p_0^2r^3}\cdot T(T_0 - T).\] Иначе \[v(T) = aT(T_0 - T),\] где \(a = (2\alpha\nu R^2)/(\pi C_p p_0^2r^3) = \text{const}\).

Графическое отображение полученной зависимости — парабола, пересекающая ось абсцисс в точках \(0\) и \(T_0\). Для горячего цилиндра максимальное значение скорости достигается в начальной точке движения при \(T = T_\text{г}\) и равно по модулю \(v_\text{г}^{\max} = aT_\text{г}(T_\text{г} - T_0)\).

Для холодного цилиндра максимальное значение скорости не определяется однозначно. При \(T_\text{х} \geqslant T_0/2\) оно также достигается в начальной точке движения при \(T = T_\text{х}\) и равно \[v_\text{х}^{\max} = aT_\text{х}(T_0 - T_\text{х}).\] Если \(T_\text{х} < T_0/2\), то максимум скорости соответствует значению \(T = T_0/2\) (вершина параболы) и равен \[v_\text{х}^{\max} = aT_0^2/4.\] Приравнивая выражения для скоростей \(v_\text{г}^{\max} = v_\text{х}^{\max}\), находим искомое.

При \(T_\text{х} \geqslant T_0/2\) получим \(T_\text{г}(T_\text{г} - T_0) = T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})\). Решаем квадратное уравнение (относительно \(T_\text{г}\)): \[T_\text{г}^2 - T_\text{г}T_0 - T_\text{х}(T_0 - T_\text{х}) = 0,\] оставляем только положительный корень. Итак: \[T_\text{г} = \frac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})}}{2}.\] При \(T_\text{х} < T_0/2\) получим \(T_\text{г}(T_\text{г} - T_0) = T_0^2/4\). Решаем квадратное уравнение (относительно \(T_\text{г}\)): \[T_\text{г}^2 - T_\text{г}T_0 - T_0^2/4 = 0,\] оставляем только положительный корень. Итак: \[T_\text{г} = T_0\cdot\frac{1+\sqrt2}{2}.\] \[T_\text{г} = \begin{cases} T_0\cdot\dfrac{1+\sqrt2}{2}, & \text{если } T_\text{х} < T_0/2;\\[2ex] \dfrac{T_0 + \sqrt{T_0^2 + 4T_\text{х}(T_0 - T_\text{х})}}{2}, & \text{если } T_\text{х} \geqslant T_0/2. \end{cases}\]