Газ, поршень и пружина

Часть энергии газа уходит в энергию сжатой пружины. Энергию пружины можно выразить через \(RT\) конечного состояния, если вспомнить, что в равновесии сила пружины уравновешивает силу давления газа.

Температура уменьшится в \(1+\dfrac{R}{4C_V}\) раз: \(T_2=\dfrac{T_1}{1+R/(4C_V)}\); давление уменьшится в \(2\left(1+\dfrac{R}{4C_V}\right)\) раз: \(p_2=\dfrac{p_1}{2\,(1+R/(4C_V))}\). Для одноатомного газа \(T_2=\frac67T_1\), \(p_2=\frac37p_1\).

Что происходит. Освобождённый поршень разгоняется газом, сжимает пружину, колеблется и останавливается: энергия колебаний рассеивается в газе. Цилиндр теплоизолирован, вакуум ничего не отбирает, поэтому энергия газа частично переходит в энергию сжатой пружины, и температура падает. Главная идея: закон сохранения энергии для системы газ + поршень + пружина вместе с условием равновесия поршня, которое связывает энергию пружины с \(RT\) в конце.

Обозначения. \(T_1\), \(p_1\), \(V_1\) — начало (поршень закреплён, пружина не деформирована); \(T_2\), \(p_2\), \(V_2=2V_1\) — конец, после остановки поршня; \(S\) — площадь поршня, \(k\) — жёсткость пружины, \(x\) — сжатие пружины, равное смещению поршня. \(C_V\) — молярная теплоёмкость газа при постоянном объёме: род газа не задан, поэтому ответ запишем через \(C_V\), внутренняя энергия моля \(U=C_VT\).

1. Геометрия. Объём газа вырос на объём, освободившийся при смещении поршня: \(V_2=V_1+Sx=2V_1\), откуда \(Sx=V_1\).

2. Равновесие поршня. Поршень в конце покоится, поэтому сила давления газа уравновешена силой упругости пружины (второй закон Ньютона для поршня в проекции на ось цилиндра при нулевом ускорении): \[p_2S=kx .\]

3. Энергия пружины через температуру. С помощью шагов 1 и 2 и уравнения Менделеева — Клапейрона для моля газа в конце, \(p_2V_2=RT_2\): \[E_{\text{пр}}=\frac{kx^2}{2}=\frac{(kx)\,x}{2}=\frac{p_2Sx}{2}=\frac{p_2V_1}{2}=\frac{p_2V_2}{4}=\frac{RT_2}{4}.\]

4. Закон сохранения энергии. Система газ + поршень + пружина теплоизолирована, внешние силы работы не совершают (по другую сторону поршня вакуум, цилиндр неподвижен), теплоёмкости цилиндра, поршня и пружины ничтожны. Энергия колебаний поршня за счёт затухания переходит в тепло газа и входит в \(U_2\). Значит, начальная внутренняя энергия газа равна сумме конечной и энергии пружины: \[C_VT_1=C_VT_2+\frac{RT_2}{4},\qquad T_2=\frac{T_1}{1+\dfrac{R}{4C_V}} .\]

5. Давление. Запишем уравнение состояния моля газа для начала и конца: \(p_1V_1=RT_1\), \(p_2V_2=RT_2\). Так как \(V_2=2V_1\), \[\frac{p_2}{p_1}=\frac{T_2}{T_1}\cdot\frac{V_1}{V_2}=\frac{T_2}{2T_1},\qquad p_2=\frac{p_1}{2\left(1+\dfrac{R}{4C_V}\right)} .\]

Обратите внимание: нельзя использовать \(pV^{\gamma}=\text{const}\) и работу газа в виде \(p\,\Delta V\). Адиабата — для медленного обратимого процесса, а здесь поршень разгоняется и колеблется. Для одноатомного газа адиабата дала бы \(T_2=T_1\cdot2^{-2/3}\approx0{,}63\,T_1\), а из закона сохранения энергии получается \(\frac67T_1\approx0{,}86\,T_1\).

Ответ. \(T_2=\dfrac{T_1}{1+R/(4C_V)}\), \(p_2=\dfrac{p_1}{2\,(1+R/(4C_V))}\): температура и давление уменьшаются. Для одноатомного газа (\(C_V=\frac32R\)): \(T_2=\frac67T_1\), \(p_2=\frac37p_1\); для двухатомного (\(C_V=\frac52R\)): \(T_2=\frac{10}{11}T_1\), \(p_2=\frac5{11}p_1\).

Проверка. Величина \(R/C_V\) безразмерна. Предельный случай: \(C_V\to\infty\) — энергии пружины хватает от ничтожной доли запаса газа, \(T_2\to T_1\). Числовая проверка для одноатомного газа при \(T_1=300\text{ К}\): \(T_2=257\text{ К}\), энергия пружины \(\dfrac{RT_2}{4}=534\text{ Дж}\) равна убыли внутренней энергии \(\dfrac32R\,(T_1-T_2)=534\text{ Дж}\). Смысл: чем больше теплоёмкость газа, тем меньше он остывает, отдавая одну и ту же энергию пружине.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.