Гелий и поршень

Поршень не пропускает тепло, и сосуд изолирован. Куда в конечном счёте попадает вся теплота \(\Delta Q\) и от чего зависит внутренняя энергия одноатомного газа?

\(\Delta p=\dfrac{2\Delta Q}{3V_0}\approx6{,}7\cdot10^{2}\text{ Па}\) (давление выросло на \(0{,}67\) кПа).

Что происходит. Левый газ нагревается, давление слева растёт, и поршень сдвигается вправо: левый газ расширяется и сжимает правый. Теплота через поршень не передаётся — энергия переходит только в виде работы. Стенки сосуда неподвижны и теплоизолированы, поэтому система из двух газов не получает работы извне. Вся теплота \(\Delta Q\) в итоге остаётся внутри сосуда, в сумме внутренних энергий газов. Главная идея: записать закон сохранения энергии для обоих газов вместе и не следить за движением поршня.

Обозначения. Начальное давление \(p\) (поршень покоился, значит слева и справа оно было одинаковым), конечное \(p'\). \(V_1,V_2\) — начальные объёмы левой и правой частей, \(V_1'\), \(V_2'\) — конечные. Полный объём не меняется: \(V_1+V_2=V_1'+V_2'=V_0\).

1. Конечное состояние. Поршень остановился, то есть силы давления на него уравновешены: давление справа и слева одинаково и равно \(p'\). Кинетическая энергия поршня при остановке равна нулю: она перешла в тепло газов, вся энергия находится во внутренней энергии газов.

2. Внутренняя энергия. Гелий — одноатомный газ, его можно считать идеальным. Для идеального одноатомного газа \(U=\dfrac32\nu RT=\dfrac32pV\) (уравнение Менделеева — Клапейрона). Для двух газов вместе: \[U=\frac32\bigl(pV_1+pV_2\bigr)=\frac32\,pV_0,\qquad U'=\frac32\,p'V_0 .\] Начальное и конечное давления у обоих газов совпадают, поэтому положение поршня в формулу не вошло.

3. Закон сохранения энергии для обоих газов. Первое начало термодинамики для системы из двух газов за всё время процесса: изменение внутренней энергии равно сообщённой теплоте плюс работа внешних тел. Работа внешних тел равна нулю (стенки неподвижны), теплообмена с окружающими телами, кроме \(\Delta Q\), нет: \[U'-U=\Delta Q\quad\Rightarrow\quad\frac32\,(p'-p)\,V_0=\Delta Q .\] \[\Delta p=p'-p=\frac{2\Delta Q}{3V_0}=\frac{2\cdot100\text{ Дж}}{3\cdot0{,}1\text{ м}^3}\approx6{,}7\cdot10^{2}\text{ Па}.\]

Обратите внимание: ответ не зависит ни от начального положения поршня, ни от температур и количеств газа, ни от того, как поршень двигался. Работа левого газа над правым — это просто передача энергии внутри системы, в сумму \(U\) она не входит.

Проверка. Размерность: \(\text{Дж}/\text{м}^3=\text{Па}\). Предел: при \(V_0\to\infty\) тот же нагрев даёт \(\Delta p\to0\). Второй способ для частного случая — поршень сначала посередине, \(V_1=V_2=V_0/2\): если бы поршень был закреплён, нагрелся бы только левый газ, и давление слева выросло бы на \(\dfrac{2\Delta Q}{3V_1}=\dfrac{4\Delta Q}{3V_0}\), справа не изменилось бы; после освобождения поршня давление выравнивается на среднем значении \(\dfrac{2\Delta Q}{3V_0}\), как и получено.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.