Ракета в жёлобе

Выброс пробки — взрыв, и при нём сохраняется импульс. Рассмотрите его в системе отсчёта, где ракета с пробкой в нижней точке покоятся: чем этот выброс отличается от вертикального старта?

\(H=h+2\sqrt{Rh}=32\) м над уровнем земли (36 м над нижней точкой жёлоба); при таком запуске ракета поднимается вдвое выше, чем при вертикальном старте: часть энергии ракете передаёт пробка, которая летела вместе с ней и затормозилась.

Что происходит. Сжатый воздух выбрасывает пробку назад, а ракету толкает вперёд. Пробка массивная, поэтому при выбросе её скорость почти не меняется, а ракета получает скорость \(v\) относительно пробки. Химической энергии воздуха хватает на одну и ту же добавку \(v\), с какой бы скоростью ни двигалась ракета до выброса: так следует из закона сохранения импульса и закона сохранения энергии. На рельсах ракета уже летит со скоростью \(v_0\), и добавка прибавляется к ней. Дальше остаётся закон сохранения механической энергии при движении по гладким рельсам.

Обозначения. \(M\) — масса ракеты, \(m\gg M\) — масса пробки, \(E\) — энергия, которую выделяет сжатый воздух при выбросе, \(v_0\) — скорость в нижней точке до срабатывания.

1. Вертикальный старт. За короткое время выброса сила тяжести не меняет импульс системы ракета + пробка заметно, а силы давления воздуха внутренние, поэтому закон сохранения импульса системы в проекции на вертикаль даёт \(Mv=mu\), где \(v\) — скорость ракеты, \(u\) — скорость пробки, направленная вниз. Закон сохранения энергии для системы: энергия воздуха переходит в кинетическую энергию обоих тел, \[E=\frac{Mv^2}{2}+\frac{mu^2}{2}=\frac{Mv^2}{2}\Bigl(1+\frac Mm\Bigr)\approx\frac{Mv^2}{2}.\] Ракета поднимается без сопротивления до остановки: \(Mv^2/2=Mgh\), откуда \[v=\sqrt{2gh}\approx17{,}7\text{ м/с},\qquad E\approx Mgh .\]

2. Скорость в нижней точке. Ракета скользит от верхнего края жёлоба без начальной скорости и опускается на высоту \(R\). Закон сохранения механической энергии (реакция рельсов перпендикулярна движению и работы не совершает): \[\frac{(M+m)v_0^2}{2}=(M+m)gR\quad\Rightarrow\quad v_0=\sqrt{2gR}\approx8{,}85\text{ м/с}.\] В нижней точке скорость горизонтальна, ракета и пробка движутся вместе.

3. Выброс пробки в нижней точке. Закон сохранения импульса системы ракета + пробка в проекции на касательную к рельсам (за короткое время выброса силой тяжести и реакцией опоры, направленными вертикально, можно пренебречь): ракета после выброса имеет скорость \(v_0+w\), пробка — \(v_0-\dfrac{M}{m}w\), где \(w\) — прибавка скорости ракеты: \[(M+m)v_0=M(v_0+w)+m\Bigl(v_0-\frac Mm w\Bigr).\] Закон сохранения энергии для этой системы: кинетическая энергия после выброса минус кинетическая энергия до выброса равна \(E\): \[E=\frac{M(v_0+w)^2}{2}+\frac{m}{2}\Bigl(v_0-\frac Mm w\Bigr)^2-\frac{(M+m)v_0^2}{2}=\frac{Mw^2}{2}\Bigl(1+\frac Mm\Bigr)\approx\frac{Mw^2}{2}.\] Слагаемые с \(v_0\) сократились — именно поэтому добавка не зависит от начальной скорости. Энергия \(E\) та же, что в пункте 1, значит \(w=v=\sqrt{2gh}\), и скорость ракеты сразу после срабатывания двигателя \[v_0+v=\sqrt{2gR}+\sqrt{2gh}\approx26{,}5\text{ м/с}.\]

4. Подъём. Дальше рельсы гладкие, и закон сохранения механической энергии ракеты справедлив до самого вылета. Пусть \(H_1\) — наибольшая высота над нижней точкой: \[\frac{M(v_0+v)^2}{2}=MgH_1\quad\Rightarrow\quad H_1=\frac{(\sqrt{2gR}+\sqrt{2gh})^2}{2g}=\bigl(\sqrt R+\sqrt h\bigr)^2=(2+4)^2\text{ м}=36\text{ м}.\] Рельсы кончаются на уровне земли, на высоте \(R\) над нижней точкой, и там направлены вертикально вверх (рис. 5): ракета вылетает вертикально со скоростью \(\sqrt{2g(H_1-R)}>0\) и дальше летит свободно, пока не остановится на высоте \(H_1\). Обратите внимание: \(36\) м отсчитаны от дна жёлоба, а в вопросе речь о высоте подъёма от места старта — от земли, то есть на \(R\) меньше: \[H=H_1-R=\bigl(\sqrt R+\sqrt h\bigr)^2-R=h+2\sqrt{Rh}=16+2\cdot8=32\text{ м}.\]

5. Объяснение с точки зрения энергии. При вертикальном старте \(E=Mgh\) целиком идёт ракете, и выше \(h\) она не поднимается. Здесь же простая оценка <<\(h+R=20\) м>> (спуск на \(R\) плюс прежняя энергия) неверна: ракета поднялась выше, хотя воздух выделил ту же энергию \(E=Mgh\). Посмотрим на энергию ракеты и пробки в системе отсчёта жёлоба. Кинетическая энергия ракеты выросла на \[\frac{M(v_0+v)^2}{2}-\frac{Mv_0^2}{2}=Mv_0v+\frac{Mv^2}{2}=Mv_0v+E,\] а кинетическая энергия пробки изменилась на \(\dfrac m2\Bigl[\bigl(v_0-\tfrac Mm v\bigr)^2-v_0^2\Bigr]\approx-Mv_0v\). Пробка летела вместе с ракетой, выброс её затормозил, и отнятая у пробки энергия \(Mv_0v\) досталась ракете. Полная энергия системы увеличилась ровно на \(E\), закон сохранения энергии выполнен. Пробка в вертикальном старте стояла на месте, и ей отдавать было нечего.

Проверка. Размерность: \(\sqrt{R}\) и \(\sqrt{h}\) — \(\sqrt{\text{м}}\), квадрат суммы — метры. Предел: при \(R\to0\) получаем \(H\to h\), то есть вертикальный старт. При \(R=h/4\) получаем \(H=2h\). Числом: \(v_0+v=26{,}5\) м/с, \(H_1=26{,}5^2/(2\cdot9{,}8)\approx35{,}8\) м, то есть 36 м от дна и 32 м от земли.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.