Шарик и второй гвоздь

Введём прямоугольную систему координат с началом в нижнем гвозде и рассмотрим движение шарика после того, как его отпустили. Сначала он движется по окружности радиусом \(L\) с центром в верхнем гвозде. Затем, после того, как нить зацепится за нижний гвоздь, шарик движется по окружности радиусом \((L - l)\) с центром в нижнем гвозде. Далее, в некоторый момент времени сила натяжения нити обращается в ноль, и шарик начинает двигаться по параболе. Он перелетит через нижний гвоздь в том случае, если парабола пересекает ось \(y\) выше гвоздя. На рисунке 1.120 показан предельный случай, соответствующий минимально возможной длине \(l\), при которой шарик ещё перелетает через гвоздь.

Пусть в тот момент, когда шарик начинает двигаться по параболе, нить составляет с горизонтом угол \(\alpha\). Уравнение движения шарика для этого момента времени имеет вид: \[\dfrac{mv^2}{L - l} = mg\sin\alpha,\] а закон сохранения энергии (за ноль потенциальной энергии принят уровень, где вбит нижний гвоздь): \[\dfrac{mv^2}{2} = mg\left(l - (L - l)\sin\alpha\right).\] Отсюда находим, что \(\sin\alpha = \dfrac{2l}{3(L - l)}\) и \(v = \sqrt{2gl/3}\).

Учитывая, что в рассматриваемый момент времени вектор скорости шарика перпендикулярен нити, запишем закон движения шарика по параболе: \[x = (L - l)\cos\alpha - v\sin\alpha\cdot t,\] \[y = (L - l)\sin\alpha + v\cos\alpha\cdot t - \dfrac{gt^2}{2}.\] Условие того, что шарик перелетит через гвоздь, есть \(y > 0\) при \(x = 0\). Из первого уравнения для времени полёта шарика до гвоздя имеем: \(t = \dfrac{(L - l)\cos\alpha}{v\sin\alpha}\). Подставляя \(t\) и \(v\) в выражение для \(y\), получаем: \(4l\sin\alpha > 3(L - l)\cos^2\alpha\). Отсюда, с учётом выражения для \(\alpha\), окончательно находим: \(l > (2\sqrt3 - 3)L \approx 0{,}46L\).