Масса пружины и период колебаний

Запишем выражения для кинетической \(W\) и потенциальной \(U\) энергий груза, колеблющегося на невесомой пружине. Если \(x\) — координата груза, \(v\) — его скорость, то \(W = Mv^2/2\), а \(U = kx^2/2\), откуда для периода колебаний получаем \(T_0 = 2\pi\sqrt{M/k}\).

Пусть теперь пружина имеет массу \(m\). Тогда в выражении для кинетической энергии системы появляется добавка — кинетическая энергия пружины. Её можно оценить следующим образом. Будем считать, что вся масса пружины сосредоточена в её середине и колеблется с амплитудой, равной половине амплитуды колебаний груза. Тогда кинетическая энергия пружины \(W_{\text{п}} = \dfrac{m}{2}\left(\dfrac{v}{2}\right)^2 = \dfrac{m}{4}\cdot\dfrac{v^2}{2}\), и полная кинетическая энергия системы \[W = \dfrac{1}{2}\left(M + \dfrac{m}{4}\right)v^2.\] Выражение для потенциальной энергии при этом имеет прежний вид. В результате для периода колебаний груза на массивной пружине получаем: \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M + (m/4)}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}\sqrt{1 + \dfrac{m}{4M}} \approx\] \[\approx 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}\left(1 + \dfrac{1}{2}\cdot\dfrac{m}{4M}\right) = T_0\left(1 + \dfrac{m}{8M}\right).\] Здесь мы использовали приближённую формулу \((1 + x)^n \approx 1 + nx\), справедливую при \(x \ll 1\). По условию \(\dfrac{m}{8M} \leqslant 0{,}01\), так что искомое соотношение имеет вид: \(m \leqslant 0{,}08M\).

Более точную оценку можно получить, считая, что амплитуда колебаний различных частей пружины нарастает по линейному закону при удалении от закреплённого конца. Тогда скорость \(v_{\text{п}}\) малого участка пружины, находящегося на расстоянии \(y\) от точки её закрепления, выражается формулой: \(v_{\text{п}} = \dfrac{y}{l}v\), и для кинетической энергии пружины получается: \[W_{\text{п}} = \int\dfrac{1}{2}v_{\text{п}}^2\,dm = \int\limits_0^l\dfrac{1}{2}\dfrac{y^2}{l^2}v^2\dfrac{m}{l}\,dy = \dfrac{m}{3}\cdot\dfrac{v^2}{2},\] так что \(W = \dfrac{1}{2}\left(M + \dfrac{m}{3}\right)v^2\). В этом случае, аналогично предыдущему, получаем: \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M + (m/3)}{k}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{M}{k}}\sqrt{1 + \dfrac{m}{3M}} \approx T_0\left(1 + \dfrac{m}{6M}\right),\] откуда следует, что при условиях задачи масса пружины должна удовлетворять следующему условию: \(m \leqslant 0{,}06M\).

Видно, что оба метода расчёта дают близкие результаты.