Динамометр с тяжёлой пружиной

У пружины есть масса, и каждый её участок разгоняет всё, что лежит между ним и корпусом: натяжение у крючка равно \(F\), а у корпуса — меньше. Удлинение пружины складывается из удлинений участков с разным натяжением.

\(T=F\,\dfrac{M+m/2}{M+m}\), где \(M\) — масса корпуса, \(m\) — масса пружины; при \(m=M\) показание \(T=\dfrac34F=3\) Н (сила приложена к крючку пружины, трения о стол нет).

Что происходит. Сила приложена к крючку пружины, пружина тянет корпус, и весь динамометр разгоняется как одно целое. Будь пружина невесомой, натяжение во всех её сечениях было бы одним и тем же, равным \(F\), и прибор показал бы \(4\) Н. Но пружина массивна: каждый её участок разгоняет не только корпус, но и ту часть пружины, что лежит между ним и корпусом, поэтому натяжение растёт от корпуса к крючку. Стрелка прибора отмечает удлинение всей пружины, а оно складывается из удлинений участков с разным натяжением. Ключевые законы — второй закон Ньютона для частей динамометра и закон Гука для каждого участка пружины.

Обозначения. \(M\) — масса корпуса, \(m=M\) — масса пружины, \(L\) — длина недеформированной пружины, \(k\) — её жёсткость: при растяжении всей пружины силой \(T\) в покое удлинение равно \(T/k\), и шкала прибора отградуирована именно так — показание равно \(k\,\Delta l\). \(x\) — расстояние от корпуса до сечения пружины, \(T_x\) — натяжение в этом сечении. Трения о стол нет; ускорение \(\vec a\) направлено вдоль силы \(\vec F\).

1. Ускорение. Второй закон Ньютона для всего динамометра (корпус и пружина, масса \(M+m\)) в проекции на направление движения: единственная внешняя горизонтальная сила — \(F\), поэтому \[a=\frac{F}{M+m}=\frac{F}{2M}.\]

2. Натяжение в сечении \(x\). Мысленно разрежем пружину в сечении \(x\) и рассмотрим всё, что левее: корпус и кусок пружины длины \(x\) массы \(m\,x/L\). На эту часть со стороны правой части пружины действует только натяжение \(T_x\), и второй закон Ньютона для неё даёт \[T_x=\Bigl(M+m\,\frac xL\Bigr)a=\frac F2\Bigl(1+\frac xL\Bigr).\] У корпуса (\(x=0\)) натяжение равно \(F/2\): половина силы уходит на разгон самой пружины. У крючка (\(x=L\)) натяжение равно \(F\) — там к пружине и приложена внешняя сила.

3. Удлинение. Разобьём пружину на \(n\) одинаковых коротких участков длины \(\Delta x=L/n\). Жёсткость участка в \(n\) раз больше жёсткости всей пружины: \(k_1=nk=\dfrac{kL}{\Delta x}\) (при одной и той же силе короткий участок удлиняется во столько же раз меньше, во сколько он короче). Внутри короткого участка натяжение почти постоянно, поэтому его удлинение по закону Гука \[\Delta l_i=\frac{T_{x_i}}{k_1}=\frac{T_{x_i}\,\Delta x}{kL}.\] Полное удлинение — сумма по участкам: \[\Delta l=\sum_i\Delta l_i=\frac{1}{kL}\sum_i T_{x_i}\Delta x .\] Сумма \(\sum T_{x_i}\Delta x\) — площадь под графиком \(T_x\) на отрезке от \(0\) до \(L\). График — прямая от \(F/2\) до \(F\), под ней трапеция: \[\sum_i T_{x_i}\Delta x=\frac{F/2+F}{2}\,L=\frac34FL,\qquad \Delta l=\frac{3F}{4k}.\]

4. Показание. Шкала переводит удлинение в силу множителем \(k\): \[T=k\,\Delta l=\frac34F=3\text{ Н}.\] То же самое словами: прибор показывает среднее по длине натяжение пружины \(\overline{T}=\dfrac{F/2+F}{2}=\dfrac34F\), потому что \(\Delta l=\overline{T}/k\).

Обратите внимание: ответ не \(F\) и не \(F/2\). Шкала динамометра градуируется в покое, когда натяжение одинаково по всей пружине; при ускоренном движении натяжение в разных сечениях разное, и показание отвечает его среднему значению. Второе: если тянуть прибор за корпус, а крючок оставить свободным, то натяжение в сечении \(x\) разгоняет только кусок пружины правее сечения, \(T_x=\dfrac mL(L-x)\,a\), и показание вдвое меньше: \(\dfrac{m}{2(M+m)}F=1\) Н.

Ответ. \(T=F\,\dfrac{M+m/2}{M+m}\); при \(m=M\): \(T=\dfrac34F=3\) Н.

Проверка. Размерность: показание — сила. Предельные случаи: невесомая пружина (\(m\to0\)) — натяжение всюду равно \(F\), показание \(F\); невесомый корпус (\(M\to0\)) — натяжение растёт от нуля у свободного конца до \(F\) у крючка, показание \(F/2\). Наш случай \(m=M\) лежит посередине: \(3F/4\). Второй способ: участок пружины длины \(\Delta x\) имеет массу \(\Delta m=m\,\Delta x/L\), и второй закон Ньютона для него, \(T_{x+\Delta x}-T_x=\Delta m\,a\), даёт тот же линейный рост \(T_x\) с наклоном \(\dfrac{ma}{L}=\dfrac{F}{2L}\); от \(F/2\) у корпуса до \(F\) у крючка — среднее \(3F/4\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.