Бутылка и стеклянный сосуд при нагревании

Объём пластиковой бутылки зависит от разности внешнего и внутреннего давлений. Если внутри бутылки давление больше наружного — атмосферного, то объём бутылки \(V_1 = 1\) л, а если внутреннее давление меньше атмосферного, то бутылка сжимается, и её объём уменьшается примерно до 0 л. Таким образом, общий объём двух сосудов — стеклянного и пластикового — может при атмосферном давлении \(p_0 = 1\cdot10^5\) Па иметь любую величину в пределах от \(V_2 = 4\) л до \(V_1 + V_2 = 5\) л. Из уравнения Менделеева — Клапейрона следует, что общее количество газа \(\nu\) в обоих сосудах может быть найдено по формуле \[\nu = \dfrac{1}{R}\left(\dfrac{p_1V_1}{T_0} + \dfrac{p_2V_2}{T_0}\right),\] где индексы 1 и 2 относятся к бутылке и стеклянному сосуду соответственно, \(T_0 = -50\,^\circ\)C, \(p_1 = 2\cdot10^5\) Па, \(p_2 = 0{,}4\cdot10^5\) Па.

Определим температуры \(T_1\) и \(T_2\), при которых давление воздуха внутри сосудов равно атмосферному, а объёмы равны \(V_2 = 4\) л и \(V_1 + V_2 = 5\) л. Так как количество газа \(\nu\) в сосудах неизменно, то \[\dfrac{p_0V_2}{T_1} = \dfrac{p_1V_1}{T_0} + \dfrac{p_2V_2}{T_0},\qquad \dfrac{p_0(V_1 + V_2)}{T_2} = \dfrac{p_1V_1}{T_0} + \dfrac{p_2V_2}{T_0}.\] Отсюда легко найти: \(T_1 \approx 247\) К (\(-26\,^\circ\)C), \(T_2 \approx 308\) К (\(+35\,^\circ\)C).

Значит, после соединения бутылок при температуре \(T_0 = -50\,^\circ\)C давление в них будет равно \[p' = \dfrac{1}{V_2}(p_1V_1 + p_2V_2) = \dfrac{T_0}{T_1}p_0 \approx 0{,}9p_0,\] то есть меньше атмосферного, и поэтому в диапазоне температур от \(-50\,^\circ\)C до \(-26\,^\circ\)C общий объём системы равен \(V_2 = 4\) л, и давление нарастает пропорционально абсолютной температуре: \(p = \dfrac{\nu R}{V_2}T\). В диапазоне от \(-26\,^\circ\)C до \(+35\,^\circ\)C давление не меняется и равно атмосферному давлению \(p_0\), а объём системы увеличивается от \(V_2 = 4\) л до \(V_1 + V_2 = 5\) л. И, наконец, в диапазоне от \(+35\,^\circ\)C до \(+50\,^\circ\)C давление снова растёт пропорционально абсолютной температуре: \(p = \dfrac{\nu R}{V_1 + V_2}T\), но скорость роста меньше, чем на участке от \(-50\,^\circ\)C до \(-26\,^\circ\)C. По достижении температуры \(T_3 = +50\,^\circ\)C давление в бутылках будет равно \[p'' = \dfrac{T_3}{V_1 + V_2}\cdot\dfrac{p_1V_1 + p_2V_2}{T_0} = \dfrac{T_3}{T_2}p_0 \approx 1{,}05p_0.\] Получающийся график зависимости \(p(T)\) приведён на рисунке 2.40.

Отметим, что продолжения наклонных участков этого графика проходят через точку \(p = 0\) Па, \(T = 0\) К \(\approx -273\,^\circ\)C.